等腰三角形（isosceles triangle），指至少有兩邊相等的三角形，相等的兩個邊稱為這個三角形的腰。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。
基本介紹
- 中文名：等腰三角形
- 外文名：Isosceles triangle
- 分類：數學
- 屬於：幾何
- 特點：兩邊相等兩角相等
- 特殊：等腰直角三角形
定義,分類,性質,判定的方式,證明,
定義
至少有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。
等腰三角形
等腰三角形分類
等腰直角三角形
1、定義
有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。
2、關係
等腰直角三角形的邊角之間的關係 ：
（1）三角形三內角和等於180°。
（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
（4）三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
（5）在同一個三角形內，等邊對等角，等角對等邊。
3、四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。
（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。
（2）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。
（3）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的兩倍。
（4）三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。
（5）三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。
（6）三角形斜邊上的高等於斜邊的一半。
備註：
①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .
④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。
等邊三角形
1、定義
所謂的等邊三角形，是三邊都相等的等腰三角形。
2、性質
（1）每個角都為60°，三角形三內角和等於180°。
（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
（4）三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。
性質
1.等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。
2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡寫成“等腰三角形三線合一”）。
3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。
4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。
5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半。
6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高（需用等面積法證明）。
7.一般的等腰三角形是軸對稱圖形,只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。但等邊三角形（特殊的等腰三角形）有三條對稱軸。每個角的角平分線所在的直線，三條中線所在的直線，和高所在的直線就是等邊三角形的對稱軸。
8.等腰三角形中腰長的平方等於底邊上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9.等腰三角形的腰與它的高的關係：腰大於高；腰的平方等於高的平方加底的一半的平方。
判定的方式
定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。
除了以上兩種基本方法以外，還有如下判定的方式：
- 在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形，且該角為頂角。
- 在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形，且該角為頂角。
- 在一個三角形中，如果一條邊上的中線與該邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形，且該邊為底邊。
顯然，以上三條定理是“三線合一”的逆定理。 - 有兩條角平分線（或中線，或高）相等的三角形是等腰三角形。
證明
有關問題的證明
已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，
求證：當三角形的周長最短時，三角形是等邊三角形。
證明：AC=a-AB
根據餘弦定理
BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA
BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以當AB=a/2時，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
這時，周長為AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以當周長最短時的三角形是正三角形。
