階乘

階乘是基斯頓·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）於 1808 年發明的運算符號，是數學術語。

一個正整數的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞歸方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

基本介紹

• 中文名：階乘
• 外文名：factorial
• 分類：數學
• 提出者：基斯頓卡曼
• 時間：1808年
• 特點：小於及等於該數的正整數的積

概念

階乘是基斯頓·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）於 1808 年發明的運算符號，是數學術語。

一個正整數的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

計算方法

大於等於1

任何大於等於1 的自然數n 階乘表示方法：

或

0的階乘

0！=1。

定義的必要性

由於正整數的階乘是一種連乘運算，而0與任何實數相乘的結果都是0。所以用正整數階乘的定義是無法推廣或推導出0！=1的。即在連乘意義下無法解釋“0！=1”。

給“0！”下定義只是為了相關公式的表述及運算更方便。

在離散數學的組合數定義中，對於正整數 滿足條件 的任一非負整數 ， 都是有意義的，特別地在 及 時，有 。 但是對於組合數公式 來說，在 及 時，都由於遇到0的階乘沒有定義而發生巨大尷尬。

對照結論 和公式 ，我們順勢而為地定義“0！=1”就顯得非常必要了。這樣，組合數公式在 及 時也通行無阻，不會有任何尷尬了。

使用的廣泛性

（1）在函式 的麥克勞林級數展開式中 明確地用到了“0！=1”的定義，沒有這個定義就只能麻煩地表示為 。

（2）作為階乘延拓的伽瑪函式是定義在複數範圍內的亞純函式，與之有密切聯繫的函式還有貝塔函式（他們分別被稱為歐拉第二積分與歐拉第一積分）。

拿伽瑪函式 來說，顯然有

當 是大於1的正整數時，有公式 ，當0的階乘被定義為0！=1後，公式 對任意正整數 就都成立了。

為什麼0！=1？

必須再次清楚地說明： 只是一種定義出來的特殊的“形式”上的階乘記號。它無法用演繹方法來論證。

“為什麼0！=1”這個問題是偽問題，而初學者總要追問這個偽問題。這就說明了我們在教材和教學實踐中都沒有把“有關‘0！=1’只是一種‘定義’的概念”講清楚。

有教輔材料上把上述必要性及合理性視作為推導的過程，那當然是大錯特錯了。必要性及合理性只是有限幾個例子，“0！=1”這種定義是不能用舉若干例子的方法來證明的。

但是 這個定義使用至今可謂久經考驗方便多多，沒有出現過任何邏輯上不合理的現象。

定義範圍

通常我們所說的階乘是定義在自然數範圍里的（大多科學計算器只能計算 0～69 的階乘），小數科學計算器沒有階乘功能，如 0.5！，0.65！，0.777！都是錯誤的。但是，有時候我們會將Gamma 函式定義為非整數的階乘，因為當 x 是正整數 n 的時候，Gamma 函式的值是 n－1 的階乘。

伽瑪函式（Gamma Function）

定義伽馬函式：

運用積分的知識，我們可以證明Γ（s）=（s-1）× Γ（s-1）

所以，當 x 是整數 n 時，

這樣 Gamma 函式實際上就是階乘的延拓。

計算機科學

用Ruby求 365 的階乘。

def AskFactorial(num) factorial=1;

step(num,1){|i| factorial*=i}

return factorial end factorial=AskFactorial(365)

puts factorial

階乘有關公式

該公式常用來計算與階乘有關的各種極限。

此為斯特林公式的簡化公式（完整的見下圖）。

雙階乘

雙階乘用“m！！”表示。

當 m 是自然數時，表示不超過 m 且與 m 有相同奇偶性的所有正整數的乘積。如：

當 m 是負奇數時，表示絕對值小於它的絕對值的所有負奇數的絕對值積的倒數。

當 m 是負偶數時，m！！不存在。

自然數雙階乘比的極限

階乘的逼近函式公式

對於正整數

此逼近函式把近1 數處理到最小，函式指數誤差詳右側圖片

對於帶小數大於1的正實數的階乘計算公式為

（1）

對於0.5到1之間的小數擬合公式如下：

對於0到0.5之間的小數階乘，先計算（1-n）!,再按一下公式計算：

計算時不要把先後順序弄反，否則誤差會增加，以上公式通過了伽馬函式的校驗，誤差極小。

以下是擬合公式與實際值的對比圖

此處按（1）式拓展到負數區間，(-n)!的階乘如下，但與詞條定義衝突

如此進一步計算為：

（2）

這樣把階乘拓展到負數區間，形成了負數區間的周期震盪階乘函式。

對於負小數-1<n<0區間，的階乘其值就等於其決定值的階乘了

此處有待商榷，如此，階乘的原定義就發生了改變。。。以下是按（1）.（2）式拓展到正負數區間的階乘倒數圖像

拓展與再定義

一直以來，由於階乘定義的不科學，導致以後的階乘拓展以後存在一些理解上得困擾，和數理邏輯的不順。

階乘從正整數一直拓展到複數。傳統的定義不明朗。所以必須科學再定義它的概念

真正嚴謹的階乘定義應該為：對於數n，所有絕對值小於或等於n的同餘數之積。稱之為n的階乘，即n!

對於複數應該是指所有模n小於或等於│n│的同餘數之積。。。對於任意實數n的規範表達式為：

正數 n=m+x,m為其正數部，x為其小數部

負數n=-m-x,-m為其正數部，-x為其小數部

對於純複數

n=(m+x)i,或n=-(m+x)i

我們再拓展階乘到純複數：

正實數階乘: n!=│n│!=n(n-1)(n-2)....(1+x).x!=(i^4m).│n│!

負實數階乘: （-n）!=cos(m )│n│!=(i^2m)..n(n-1)(n-2)....(1+x).x!

(ni)!=(i^m)│n│!=(i^m)..n(n-1)(n-2)....(1+x).x!

(-ni)!=(i^3m)│n│!=(i^3m)..n(n-1)(n-2)....(1+x).x!

廣義複數階乘

對於一般的複數而言， 所有模n小於或等於│n│的同餘數之積，意味著其實部與虛部必須滿足一定條件，條件如下

複數z=ak+ibk

當z的幅角a 相等時zk=（n-k）(cosa+isina),它的階乘為：

說明：複數階乘存在路徑問題，路徑不同階乘的結果就不相同，幅角a相等是指按直線從0點附近到z,不等時是按曲線取階乘。複數階乘存在方向問題，就是說它是有方向的量。。。廣義階乘涵括正負實數階乘。。。

套用

求n!的位數

方法一
可以將n!表示成10的次冪,即n!=10^M(10的M次方)則不小於M的最小整數就是 n!的位數，對該式兩邊取對數，有 M =log10^n!
即：
M = log10^1+log10^2+log10^3...+log10^n
循環求和,就能算得M值，該M是n!的精確位數

代碼：

#include "iostream"#include "math.h"using namespace std;int main(){      int n,i;      double d;      while (scanf("%d",&n)!=EOF){          d=0;          for (i=1;i<=n;i++)d+=(double)log10(i);          printf("%d\n",(int)d+1);      }return 0;}  

方法二
利用斯特林（Stirling）公式的進行求解。下面是推導得到的公式：
res=(long)( (log10(sqrt(4.0*acos(0.0)*n)) + n*(log10(n)-log10(exp(1.0)))) + 1 );
當n=1的時候，上面的公式不適用，所以要單獨處理n=1的情況！
有關斯特林（Stirling）公式及其相關推導，這裡就不進行詳細描述，

這種方法速度很快就可以得到結果。

求n!末尾0的個數

思路：

一個數 n 的階乘末尾有多少個 0 取決於從 1 到 n 的各個數的因子中 2 和 5 的個數

而 2 的個數是遠遠多餘 5 的個數的, 因此求出 5 的個數即可

題解中給出的求解因子 5 的個數的方法是用 n 不斷除以 5, 直到結果為 0

然後把中間得到的結果累加. 例如, 100/5 = 20, 20/5 = 4, 4/5 = 0

則 1 到 100 中因子 5 的個數為 (20 + 4 + 0) = 24 個

即 100 的階乘末尾有 24 個 0. 其實不斷除以 5

是因為每間隔 5 個數有一個數可以被 5 整除, 然後在這些可被 5 整除的數中

每間隔 5 個數又有一個可以被 25 整除, 故要再除一次, ... 直到結果為 0, 表示沒有能繼續被 5 整除的數了.

代碼：

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int main(){    int N,i,mod5,d5,count0=0;    scanf("%d",&N);    for (i=1;i<=N;i++)    {        mod5=i%5;        d5=i/5;        while(mod5==0)        {            count0++;            mod5=d5%5;            d5=d5/5;        }    }    printf("%d的個數 %d\n",N,count0);}

計算機階乘

Logo 語言

Logo 語言因為是少兒的學習語言，階乘方法要複雜一些，而且時間較慢，下面是低精度、高精度、統計位數的階乘算法：

TO DJDJC :N ;低精度階乘

MAKE "S 1;累乘器開始的值是1

FOR "I 1 :N[MAKE "S :S * :I]

(PR :N [！=] :S)

END

TO GJDJC :N;高精度階乘

IF :N>=1000 THEN PR "請輸入不大於999的數！ STOP

MAKE "PRECISION 6;計算顯示位數設定為六位

MAKE "A ARRAY 860;定義數組空間0-859組

ASET :A 1 1;乘法數組第1空間賦值為1

FOR "I 2 859[ASET :A :I 0] ;其他數組空間賦值為0

FOR "I 1 :N [JC :I];調用階乘過程

MAKE "K 0;數組空間是0的標記

MAKE "Z 0;總共有多少組數字的標記

MAKE "WS 0;累加總共有多少位的計數器

TYPE :N TYPE[！=];從高位到低位顯示計算結果

FOR "M 1 859[XXS 860-:M]

PR[ ] TYPE[這是一個]TYPE :WS TYPE[位數]PR[]

END

TO JC :I;計算階乘的過程

FOR "J 1 858[CF :I :J] ;對所有數組空間逐一計算乘法

FOR "J 1 858[CLJW :J];處理乘法過程中的進位

END

TO CF :I :J ;計算乘法的過程

MAKE "ZJ AGET :A :J

MAKE "ZJ :ZJ * :I;I是階乘中需要累乘的數

ASET :A :J :ZJ

END

TO CLJW :J;處理進位的過程

MAKE "X AGET :A :J

IF :X<1000 THEN GO "XXX;處理沒有進位的數組

MAKE "JINWEI INT (:X / 1000);截取小於1000的尾數

MAKE "WEISHU :X - :JINWEI * 1000 ;截取進位的數字

ASET :A :J :WEISHU;存儲尾數

MAKE "Y AGET :A :J+1

MAKE "Y :Y + :JINWEI

ASET :A :J+1 :Y;向上進位

LABEL "XXX

END

TO XXS :P;顯示計算結果的過程

MAKE "NN AGET :A :P

IF (AND :NN=0 :K=0) THEN[GO "END_]ELSE[MAKE "K 1 MAKE "Z :Z+1] ;避開無效數組

IF :Z=1 THEN MAKE "WS :WS+(COUNT :NN) GO "UP;計算頭一個有效數組的位數

IF :Z>1 THEN MAKE "WS :WS+3;累計數值的總位數

IF :NN < 10 THEN TYPE [0];填充空位0

IF :NN < 100 THEN TYPE [0]

LABEL "UP

TYPE :NN

LABEL "END_ ;越過開頭的空數組

END

TO JC :N ;求解任意數的階乘是多少位數

MAKE "S 0;先賦值位數為0

FOR "I 1 :N[MAKE "S :S+LOG10 :I]

TYPE[:S=]PR :S

END

Common Lisp 語言

在 Common Lisp 中， 可以很方便的使用更為簡潔的使用遞歸實現階乘：

(defun factorial (n)  (cond      ((> n 0) (* (factorial (- n 1)) n))      ((= n 0) 1)      (t (error "N is smaller than 0."))))

注意：因為百度不提供任何Lisp語言的代碼框，此處使用的是Python的代碼框，所以關鍵字可能無法高亮顯示

Python 語言

在 Python 中， 同樣可以使用這種簡潔方式實現階乘的計算：

def factorial(n)    if(n<=1):        return 1    else:        return factorial(n-1) * n

C語言

在 C 語言中，使用循環語句可以很方便的求出階乘的值，下面介紹一個很簡單的階乘例子。（因為網上多數是比較麻煩的方法）

【計算出“ 1！+ 2！+ 3！+ …… + 10！”的值是多少？】

#include<stdio.h>int main(){    int n, x;        for(n = x = 1; n <= 10; ++n) {        x *= n;        printf("%d\t%d\n", n, x);    }                return 0;}

/*10!：3628800*/

Pascal中

program test;varn:longint;function jc(n:longint):qword;begin if n=0 then jc:=1 else jc:=n*jc(n-1)end;begin readln (n); writeln (jc(n))end.

C++ 中

#include<iostream>using namespace std;long long f(int n){    long long e=1;    if(n>0)    e=n*f(n-1);    cout<<n<<"！="<<e<<endl;    return e;}int main(){    int m=20;    f(m);    return 0;}

以上使用 C++ 11 標準

也可以利用積分求浮點數階乘：

#include<cstdio>#include<cmath>double s;const double e=exp(1.0);double F(double t){    return pow(t,s)*pow(e,-t);}double simpson(double a,double b){    double c=a+(b-a)/2;    return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;}double asr(double a,double b,double eps,double A){    double c=a+(b-a)/2;    double L=simpson(a,c),R=simpson(c,b);    if(fabs(L+R-A)<=15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;    return asr(a,c,eps/2,L)+asr(c,b,eps/2,R);}double asr(double a,double b,double eps){    return asr(a,b,eps,simpson(a,b));}int main(){    scanf("%lf",&s);    printf("%lf\n",asr(0,1e2,1e-10));    return 0;} 

JAVA 中

public class Main{ final static int MAX=20;// 可以替換 MAX 的值。    public static void main(String[] args)    {        int i=1;        long result=1;        long[] n=new long[MAX];        do{            result*=(i+1);            System.out.println(i+1+"！="+result);            n[i]=result;            i++;        }while(i<MAX);        n[0]=1;//階乘end    }}

使用for循環更簡單易懂:

public static void main(String[] args) {    long result = 1;    for (int j = 0; j < 10; j++) {        result *= (j + 1);        System.out.println(j + 1 + "！=" + result);    }}

php中

function jc($n){if($n>1){return $n*jc($n-1);}else{return 1;}}echo jc(3);

JavaScript 階乘

function factorial(num){    if (num <= 1)        return 1;    else        return num * arguments.callee(num - 1);};

彙編中的階乘算法

.286.model small,stdcallFactorial PROTO :WORD.stack 200h.data    f_n WORD 6    result WORD ?.CODESTART:    mov ax,@data    mov ds,ax    mov es,ax    invoke Factorial,f_n    mov result,ax    mov ah,4ch    int 21h    ;計算階乘    ;輸入參數:[ebp+8] = n, 需要計算的數字    ;返回參數:eax = n的階乘    Factorial PROC near uses bx,fn    mov ax,fn    cmp ax,0    ja L1    mov ax,1    jmp L2    L1:    dec ax    invoke Factorial,ax    ReturnFact:    mov bx,fn    mul bx    L2:    retFactorial ENDPEND START

高精度求階乘

Visual Basic NET

'本代碼使用了斯特林（Stirling）逼近的方式計算較大數值的階乘和有小數位數的數值的階乘。詳細過程請參見《用Stirling逼近近似計算階乘的探討與套用》一書。

'根據驗算，結果與Windows 7的計算器結果有出入，但是還能忍受。特別是可以計算較大數值的階乘，例如 36000，Windows計算器溢出。當然無法考證我的結果與真實結果的差距，沒有比較……^.^

Private Sub 計算按鈕_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles 計算按鈕.Click
Dim 階乘數 As Decimal = CDec(InputBox("請輸入一個數值，將得到它的階乘結果。"))
' 因為要計算比較大的數值，因此將較小的整數值按照階乘的定義來計算得到準確值，但 VBULong整數的最大範圍能計算到 20的階乘，21將溢出；較大的數值或者小數按照 Stirling 逼近的方式計算。
If 階乘數 >= 0 And 階乘數 <= 20 And Fix(階乘數) = 階乘數 Then
MsgBox(階乘數 & " 的階乘結果是：" & 小階乘(CInt(階乘數)))
Else
MsgBox(階乘數 & " 的階乘結果是：" & 大數階乘(CDbl(階乘數)) & " E " & 大數階乘指數(階乘數))
End If
End Sub

'這是小數值階乘的過程，標準計算方式，結果精確。

Private Function 小階乘(階乘數 As Integer) As ULong
If 階乘數 = 0 Or 階乘數 = 1 Then'如果數值是 0或者 1，直接返回 1。
Return 1
Else
小階乘 = 1
For 階乘次數 As Integer = 1 To CInt(階乘數)
小階乘 *= CULng(階乘次數)
Next
Return 小階乘
End If
End Function

''' <summary>
''' 這個過程用 Stirling 逼近的方式計算較大數值和有小數點的值的階乘結果的前 15 位。詳細過程見《用 Stirling 逼近近似計算階乘的探討與套用》一書。
''' </summary>
''' <param name="階乘數"></param>
''' <returns></returns>
''' <remarks></remarks>
Private Function 大數階乘(階乘數 As Double) As Double
Dim X As Double = 0.5 * Math.Log(2 * 階乘數 * Math.PI) / Math.Log(10) + 階乘數 * Math.Log(階乘數 / Math.Exp(1)) / Math.Log(10)
Dim XDouble As Double = X - Math.Truncate(X)
Dim Y As Double = Math.Exp(XDouble * Math.Log(10))
Dim Z As Double = Math.Exp(1 / 12 / 階乘數 - 1 / 360 / 階乘數 / 階乘數)
Return Y * Z
End Function

''' <summary>
''' 這個過程用 Stirling 逼近的方式計算較大數值和有小數點的值的階乘結果的小數點位數。詳細過程見《用 Stirling 逼近近似計算階乘的探討與套用》一書。
''' </summary>
''' <param name="階乘數"></param>
''' <returns></returns>
''' <remarks></remarks>

Private Function 大數階乘指數(階乘數 As Double) As ULong
Dim X As Double = 2 * Math.PI * 階乘數
Dim Y As Double = 0.5 * Math.Log10(X)
Dim A As Double = 階乘數 * Math.Log10(階乘數 / Math.E)
Return CULng(Math.Truncate(Y + A))
End Function

C語言

#include<stdio.h>#define N 5000//modify it to hold larger number//to avoid stack overflow, define it as global varibleint f[N];//do not need to be assigned as 0 because it has already been assigned 0 by the systemint main(){    int n,i,j,s,up;    scanf("%d",&n);    for(i=2,f[0]=1;i<=n;i++)    {        for(j=up=0;j<N;j++)        {            s=f[j]*i+up;            f[j]=s%10;            up=s/10;        }    }    for(i=N-1;f[i]==0;i--);    for(;i>=0;i--)    printf("%d",f[i]);    printf("\n");    return 0;}

Pascal 語言(可計算到3251!)

var a:array[1..10000] of integer;    b,c,d,t,x:integer;begin     readln (x);     if (x<0) then  begin writeln ('error!'); readln; halt; end;     for  t:=1 to 10000 do a[t]:=0;     d:=1; a[1]:=1;     for c:=1 to x do                     {一直乘到x}     begin          t:=1; b:=0;                     {t:第幾位數 b:進位 d:總位數}          repeat               a[t]:=a[t]*c+b;           {數組每位均乘上c,同時加上進位}               b:=a[t] div 10;           {分離出進位}                if a[t]>=10 then if (t=d) then d:=d+1;  {假如最後一位乘時有}                                                         {進位,則總位數加1}                 a[t]:=a[t] mod 10;                inc (t);                  {數組下一位}          until (t>d);                    {直到乘完數組的每一位數字}     end;     for t:=d downto 1 do write (a[t]);    {輸出}end.