斯特林公式

斯特林公式（Stirling's approximation）是一條用來取n的階乘的近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，斯特林公式的取值已經十分準確。

基本介紹

• 中文名：斯特林公式
• 外文名：Stirling's approximation
• 分類：數學
• 功能：取n階乘的近似值
• 套用：機率論
• 又名：斯特靈公式

定義

斯特林公式（Stirling's approximation）是一條用來取n的階乘的近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，斯特林公式的取值已經十分準確。

斯特林公式在理論和套用上都具有重要的價值，對於機率論的發展也有著重大的意義。在數學分析中，大多都是利用Г函式、級數和含參變數的積分等知識進行證明或推導，很為繁瑣冗長。近年來，一些國內外學者利用機率論中的指數分布、泊松分布、χ²分布證之。

形式

或更精確的

或

證明

令

則

所以 即 ，即單調遞減，又由積分放縮法有

即 ，即

由單調有界定理 的極限存在，

設

利用Wallis公式，

所以

即

程式

斯特林數判斷階乘位數

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#include<math.h>

const double e = 2.71828182845;

const double pi = 3.1415926;

int main(void) {

int t, i, f, v;

double a, s;

const double log10_e = log10(e);

const double log10_2_pi = log10(2.0*pi)/2.0;

while (scanf("%d", &t) != EOF && t) {

for (i = 0; i < t; ++i) {

scanf("%d\n", &v);

if (1 == v) {printf("1\n"); continue;}

a = v;

s = log10_2_pi + (a+0.5)*log10(a) - a * log10_e;

f = ceil(s);

printf("%d\n", f); } }

return 0; }