《Lévy噪聲隨機偏微分方程的平均原理》是依託中山大學，由任佳剛擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Lévy噪聲隨機偏微分方程的平均原理
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：任佳剛
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
多尺度模型正引起數學、物理、生物和工程等諸多學科的極大關注。解決多尺度模型的核心問題之一就是對模型進行約化。本項目中，我們將研究Lévy過程驅動的、具有快慢兩個時間尺度的隨機偏微分方程的平均化問題。大尺度效應和隨機影響是解決該問題的兩個主要難點。在平均化原理和隨機分析理論的框架下，我們將研究兩時間尺度的隨機偏微分方程的約化方程存在以及逼近原系統主要分量的必要條件、強收斂(軌道的逼近)及弱收斂(分布的逼近)意義下，主要分量與約化方程的解過程關於時間尺度參數的收斂速度。這些結果能夠加深對多尺度隨機系統演化行為的認識，為多尺度複雜系統的建模、仿真、參數估計、最優控制等問題提供嚴格的數學基礎。
結題摘要
隨機偏微分方程刻畫在隨機因素影響下的具有時空演化特性物理現象的巨觀數學模型。因此，隨機偏微分方程的研究具有重要的理論和套用價值。項目組成員付紅波博士在中山大學訪問期間，合作雙方主要研究Lévy 噪聲隨機偏微分方程的平均原理及其套用。主要研究內容和結果如下：1. 研究了由補償Poisson隨機測度驅動的隨機分數階微分方程的平均原理。在某些假設下，該隨機微分方程的解可由相應的平均方程的解在均方意義下逼近。並且，給出了二者之間的收斂速度。2. 研究了隨機偏微分方程的振幅逼近。我們考慮了具有三次非線性、乘性噪聲驅動的隨機偏微分方程，零解為其平凡解。我們關注其在相應的確定性方程分叉點處的動力學性質。基於時間尺度的分離和對快變數的平均，我們嚴格得出了一個描述分叉動力學的振幅方程。這使我們可以通過更簡單的有效動力學方程（即振幅方程）來近似原始的無限維動力學。該抽象結果對於簡單的一維隨機Ginzburg-Landau方程是有效的。
