基本介紹
- 外文名：floyd-warshall算法
- 解決：任意兩點間的最短路徑
- 類型：一種算法
- 使用：在任何圖中使用
使用條件,算法介紹,例題,
使用條件
Floyd-Warshall 算法用來找出每對點之間的最短距離。它需要用鄰接矩陣來儲存邊，這個算法通過考慮最佳子路徑來得到最佳路徑。
算法介紹
單獨一條邊的路徑也不一定是最佳路徑。 從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權的和，(如果兩點之間沒有邊相連, 則為無窮大）。 從第一個頂點開始，依次將每個頂點作為媒介 k，然後對於每一對頂點 u 和 v ，查看其是否存在一條經過 k 的，距離比已知路徑更短的路徑，如果存在則更新它。
即dist[k](i,j) = min(dist[k-1](i,j),dist[k-1](i,k)+dist[k-1](k,j)。// dist[k](i,j) 為媒介結點為k時從節點i到節點j的最短距離
For i←1to n do
For j←1to n do
dist(i,j) = weight(i,j)
For k←1to n do// k為“媒介節點”{一定要先枚舉媒介節點}
For i←1to n do
For j←1to n do
if(dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j))then// 是否是更短的路徑？
dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
這個算法的效率是O(V^3)。它需要鄰接矩陣來儲存圖。
這個算法很容易實現，只要幾行。
即使問題是求單源最短路徑，還是推薦使用這個算法，如果時間和空間允許(只要有放的下鄰接矩陣的空間，時間上就沒問題)。
例題
設計公共汽車線路(1)
現有一張城市地圖，圖中的頂點為城市，有向邊代表兩個城市間的連通關係，邊上的權即為距離。現在的問題是，為每一對可達的城市間設計一條公共汽車線路，要求線路的長度在所有可能的方案里是最短的。
輸入：
市數，1≤n≤20)
e (有向邊數1≤e≤210)
以下e行，每行為邊（i,j）和該邊的距離wij（1≤i,j≤n）
輸出：
k行，每行為一條公共汽車線路
分析：本題給出了一個帶權有向圖，要求計算每一對頂點間的最短路徑。這個問題雖然不是圖的連通性問題，但是也可以借鑑計算傳遞閉包的思想：在枚舉途徑某中間頂點k的任兩個頂點對i和j時，將頂點i和頂點j中間加入頂點k後是否連通的判斷，改為頂點i途徑頂點k至頂點j的路徑是否為頂點i至頂點j的最短路徑（1≤i，j，k≤n）。 顯然三重循環即可計算出任一對頂點間的最短路徑。設 n—有向圖的結點個數；path—最短路徑集合。其中path[i，j]為vi至vj的最短路上vj的前趨結點序號(1≤i，j≤n)；adj—最短路徑矩陣。初始時為有向圖的相鄰矩陣
我們用類似傳遞閉包的計算方法反覆對adj矩陣進行運算，最後使得adj成為存儲每一對頂點間的最短路徑的矩陣
Var adj：array[1‥n，1‥n] of real；
path：array[1‥n，1‥n] of 0‥n；
計算每一對頂點間最短路徑的方法如下：
首先枚舉路徑上的每一個中間頂點k（1≤k≤n）；然後枚舉每一個頂點對（頂點i和頂點j，1≤i，j≤n）。如果i頂點和j頂點間有一條途徑頂點k的路徑，且該路徑長度在目前i頂點和j頂點間的所有條途徑中最短，則該方案記入adj[i，j]和path[i，j]
adj矩陣的每一個元素初始化為∞；
for i←1 to n do {初始時adj為有向圖的相鄰矩陣，path存儲邊信息}
for j←1 to n do
if wij<>0 then begin adj[i，j]←wij；path[i，j]←j；end{then}
else path[i，j]←0；
for k←1 to n do {枚舉每一個中間頂點}
for i←1 to n do {枚舉每一個頂點對}
for j←1 to n do
if adj[i，k]+adj[k，j]<adj[i，j] {若vi經由vk 至vj的路徑目前最優，則記下}
then begin
adj[i，j]←adj[i，k]+adj[k，j]；
path[i，j]←path[i，k]；
end，{then}
Procedure print(i，j)；
begin
if i=j then 輸出i
else if if path[i，j]=0
then 輸出結點i與結點j之間不存在通路
else begin
輸出j；
end；{else}
end；{print}
由此得出主程式
距離矩陣w初始化為0；
輸入城市地圖信息（頂點數、邊數和距離矩陣w）；
計算每一對頂點間最短路徑的矩陣path；
for i←1 to n do {枚舉每一個頂點對}
for j←1 to n do if path[i，j]<>0 {若頂點i可達頂點j，則輸出最短路徑方案}
then begin print（i，j）；writeln；end；{then}
PASCAL語言
program floyd;
var st,en,f:integer;
k,n,i,j,x:integer;
a:array[1..10,1..10] of integer;
path:array[1..10,1..10] of integer;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
read(k);
if k<>0 then
a[i,j]:=k
else
a[i,j]:=maxint;
path[i,j]:=j;
end;
end;
for x:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,j]>a[i,x]+a[x,j] then
begin
a[i,j]:=a[i,x]+a[x,j];
path[i,j]:=path[i,x];
end;
readln(st,en);
writeln(a[st,en]);
f:=st;
while f<> en do
begin
write(f);
write('-->');
f:=path[f,en];
end;
writeln(en);
end.
