《1-Laplace方程解的存在性以及特徵值問題》是依託中南大學，由李周欣擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：1-Laplace方程解的存在性以及特徵值問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李周欣
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究在圖像處理中有深刻套用的1-Laplace方程解的存在性以及特徵值問題。與p-Laplace方程不同，1-Laplace方程的解一般屬於BV空間，是不連續的。同時由於BV空間的對偶空間尚不是很清楚，這為利用變分方法研究解的存在性帶來了很大的困難，特別是在證明相應泛函（PS）序列的收斂性上。本項目的研究主要有兩方面：（1）高維空間中特徵值問題。高維空間中計算BV函式的全變差非常困難，主要利用軸對稱化方法簡化問題，再計算相應泛函的強斜率尋找強特徵值。（2）臨界增長的1-Laplace方程解的存在性。通過分析泛函弱斜率與次微分的關係，採用新方法（例如定義（Concrete-PS）序列或者證明Radon空間中的Brezis-Lieb引理）證明（PS）序列的收斂性，利用不光滑泛函的臨界點理論來研究方程解的存在性，進一步，採用軸對稱化方法計算一些具體方程解的表達式。
結題摘要
本項目基本上按照計畫進行。主要成果如下： 1. 研究了高維 1-Laplace 運算元特徵值和特徵向量的一些性質。利用非光滑臨界點定理，證明 1-Laplace 運算元存在一列特徵值。當研究區域為不包含原點的環形區域時，軸對稱化運算元，計算相應泛函的強斜率，證明了運算元在 BV 空間中，除了第一特徵值之外，其它的特徵值不存在軸對稱的強特徵函式。 2. 研究擬線性橢圓型方程解的存在性。首先，利用非光滑臨界點理論研究了一類非強制泛函無窮多變號臨界點的存在性；其次，在負曲率條件下研究了一類擬線性橢圓型方程解的存在性；最後，研究了一類臨界增長的擬線性 Schrodinger 方程的正解的存在性。
