幾類含∞-Laplace運算元的特徵值問題的研究

《幾類含∞-Laplace運算元的特徵值問題的研究》是依託南京理工大學，由劉芳擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：幾類含∞-Laplace運算元的特徵值問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉芳
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

本課題擬深入研究含∞-Laplace運算元的特徵值問題,重點研究Dirichlet外問題和Robin混合內問題。將套用泛函分析、幾何測度論、偏微分方程的思想和方法,通過構造上、下解，建立比較原理、一致估計和緊性等得到特徵值和特徵函式的存在性。進一步研究上述幾類問題的特徵值和區域的依賴關係，刻畫特徵值的譜結構。∞-Laplace運算元的特徵值問題與絕對極小、tug-of-war密切相關，同時在最優傳輸、圖像處理、彈性力學及物理等方面有廣泛的套用，在過去十幾年引起了廣泛的關注，本課題的研究可以豐富退化、擬線性偏微分方程的理論，深入開展這一領域的研究非常有意義。

結題摘要

我們研究了博弈論中∞-Laplace方程的特徵值以及與之相關的問題。研究了有偏差的博弈論∞-Laplace方程的初邊值問題，得到了粘性解的存在唯一性，建立了解的Lipschitz正則性估計，得到了齊次方程分離變數解和行波解等特殊形式的解。討論了一類帶有傳輸項的拋物∞-Laplace方程，通過上下解構造閘函式，並建立一致估計，從而得到了解的存在性，用改進的Bernstein方法得到了解的梯度估計，利用拋物運算元的一次齊次性以及自變數加倍的方法，建立了粘性解的唯一性和穩定性。研究了帶低價項的∞-Laplace方程，當低階項滿足一定的結構條件時，通過正則化方程逼近的方法，建立一致估計，構造精細的閘函式，從而建立了解的適定性。對廣義有偏差的∞-Laplace方程，利用極值原理和精細的Bernstein等方法，克服運算元退化所帶來的困難，在一定的光滑性條件下，通過構造適當的輔助函式，得到了光滑解的梯度內估計和全局估計、非負解和梯度模的Harnack不等式等先驗估計。研究了有偏差的∞-Laplace運算元的特徵值問題，分別在Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件下考慮特徵值問題，利用極值原理刻畫了非散度型運算元的主特徵值，討論了主特徵值與主特徵函式的存在性，進一步研究了球體上的徑向特徵值問題， 對相應的非齊次方程建立了解的存在唯一性，同時給出了相應的拋物型方程解的指數型衰減性估計。這些結果可以套用到很多特徵值問題中，如加權特徵值問題、混合特徵值問題等。