非線性分析在張量特徵值與圖論中的套用

《非線性分析在張量特徵值與圖論中的套用》是依託北京大學，由張恭慶擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性分析在張量特徵值與圖論中的套用
• 依託單位：北京大學
• 項目負責人：張恭慶
• 項目類別：面上項目

項目摘要

非線性分析方法在微分方程中的套用 已廣為人知， 本項目意在發展並套用非線性分析方法於高階張量特徵值以及圖論。 本人與合作者曾成功地套用非線性分析方法全面推廣了線性代數中的Perron-Frobenius 定理於高階非負張量，套用變分理論中的極小極大定理研究了對稱張量實特徵值的個數， 發展了Z_2 x Z_2 的指標理論研究了張量實奇異值的個數等問題。這些發展反過來又被套用於研究非線性偏微分方程組的非半平凡解的個數。這些工作都已發表， 見參考文獻。 近來申請者更找到一條由非光滑流形上非光滑函式的臨界點理論通向圖論的途徑， 準備在這個方向上發展圖上的1-拉普拉斯運算元的譜理論。這個想法是全新的. 預計能建立起一套與現有圖譜理論並行的非線性圖譜理論和算法。這個理論會與現有的圖譜理論相互補充， 對圖給出更詳細的刻畫。

結題摘要

本項目的研究工作主要以非線性分析，特別是變分方法和臨界點理論， 如非光滑泛函的變分理論，凸泛函，Lipschitz泛函的臨界點理論為工具，研究張量特徵值和圖上1-Laplace 運算元的譜理論以及在圖論中的套用，非線性版本的Krein-Rutman定理，圖像處理中Rudin-Osher-Fatemi (ROF)泛函極小問題解的性質研究，曲線流問題自相似解的存在性，凸幾何中L_p Minkowski 問題等。 本項目發展了一個非線性Perron-Frobenius定理和Krein-Rutman 定理，在張量分析，特別是張量特徵值和奇異值的極小極大刻畫，把1-Laplace運算元引入圖論中一些重要問題的研究方面，系統發展圖上1-Laplace運算元譜理論，以及圖上1-Laplace 運算元特徵值刻畫與多重性，特徵向量的變號區域問題與圖上Cheeger常數，圖的Cheeger 分割， 極大分割的聯繫， 圖上Cheeger 分割的一些新理論和計算方法等問題的研究等方面取得了很有學術價值的重要研究成果。 本項目在利用凸泛函，Lipschitz泛函的臨界點理論研究有界變差函式空間中的變分問題，如圖像處理中各種ROF 型泛函的極小問題，1-Lapalce 方程，特別是1-Laplace 運算元特徵函式，特徵值與ROF 泛函的極小之間的關係，泛函極小的解析表達式，極小解的幾何與分析性質等方面，凸幾何中2維一般測度情形L_p Minkowski 問題及連續情形其對偶問題的可解性，圓周上具有共形不變性質的微分方程解的存在性方面取得了很有學術價值的研究成果。