阿貝爾-魯菲尼定理

阿貝爾—魯菲尼定理指出，五次及更高次的代數方程沒有一般的代數解法，即這樣的方程不能由方程的係數經有限次四則運算和開方運算求根。

基本介紹

• 中文名：阿貝爾-魯菲尼定理
• 外文名：theorem of Ruffini-Abel
• 提出者：阿貝爾
• 提出時間：1824年
• 適用領域：數學-代數
• 套用學科：數學-代數

定理定義

阿貝爾-魯菲尼定理並不是說明五次或更高次的多項式方程沒有解。事實上代數基本定理說明任意非常數的多項式在複數域中都有根。然而代數基本定理並沒有說明根的具體形式。通過數值方法可以計算多項式的根的近似值，但數學家也關心根的精確值，以及它們能否通過簡單的方式用多項式的係數來表示。例如，任意給定二次方程，它的兩個解可以用方程的係數來表示：

這是一個僅用有理數和方程的係數，通過有限次四則運算和開平方得到的解的表達式，稱為其代數解。三次方程、四次方程的根也可以使用類似的方式來表示。阿貝爾-魯菲尼定理的結論是：任意給定一個五次或以上的多項式方程：，那么不存在一個通用的公式（求根公式），使用和有理數通過有限次四則運算和開根號得到它的解。或者說，當n大於等於5時，存在n次多項式，它的根無法用自己的係數和有理數通過有限次四則運算和開根號得到。換一個角度說，存在這樣的實數或複數，它滿足某個五次或更高次的多項式方程，但不能寫成任何由方程係數和有理數構成的代數式。這並不是說每一個五次或以上的多項式方程，都無法求得代數解。比如的解之一是。

具體區分哪些多項式方程可以有代數解而哪些不能的方法由伽羅瓦給出，因此相關理論也被稱為伽羅瓦理論。簡單來說，某多項式方程有代數解，等價於說它對應的域擴張上的伽羅瓦群是一個可解群。對於一般的二次、三次和四次方程，它們對應的伽羅瓦群是二次、三次和四次對稱群：,,，它們都是可解群。但一般的五次方程對應的是五次對稱群，這是一個不可解群。當次數n大於等於5時，情況也是如此。

發展簡史

1824年，阿貝爾證明了五次或五次以上的代數方程沒有一般的用根式求解的公式。所謂方程有根式解(代數可解)，就是這個方程的解可由該方程的係數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來。關於代數方程的求解，從16世紀前半葉起，已成為代數學的首要問題，一般的三次和四次方程解法被義大利的幾位數學家解決。在以後的幾百年里，代數學家們主要致力於求解五次乃至更高次數的方程，但是一直沒有成功。對於方程論，拉格朗日比較系統地研究了方程根的性質(1770)，正確指出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，從而實現了代數思維方式的轉變。儘管拉格朗日沒能徹底解決高次方程的求解問題，但是他的思維方法卻給後人以啟示。P．魯菲尼(Ruffini)於1799年首次證明了高於四次的一般方程的不可解性，但其“證明” 存有缺陷。兩年以後，高斯解決了分圓方程的可解性理論問題。拉格朗日和高斯的工作是阿貝爾研究工作的出發點。中學時，他就讀過拉格朗日關於方程論的著作，大學一年級開始全面研究高斯的《算術研究》(Disquis-tiones arithmeticae)。後來，他又了解了柯西關於置換理論方面的成果。然而，他當時並不曉得魯菲尼的工作。阿貝爾就是在這種背景下思考代數方程可解性理論問題的．

1824年，阿貝爾首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正確證明。更進一步的說明，發表在1826年克雷雜誌第一期上，題目為“高於四次的一般方程的代數解法不可能性的證明”．在這篇論文中，阿貝爾討論並修正了魯菲尼論證中的缺陷。魯菲尼的“證明”缺乏數域的概念，所以不可能在由已知方程的係數所確定的基礎域及域的擴張下進行工作。另外，魯菲尼“證明”中還用到了一個未加證明的關鍵性命題，後稱阿貝爾定理。該定理說，如果一個代數方程能用根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式，一定可以表達成方程諸根及某些單位根的有理函式。阿貝爾就是套用這個定理證明高於四次的一般方程不能有根式解的。

上面所說的阿貝爾定理，也就是“置換群”的思想。

他在進一步思考哪些方程（比如x^n-1=0）才可用根式解的問題的時候，阿貝爾證明了下述定理：對於一個任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一個根有理地表出(我們用x表示)，並且任意兩個根Q(x)與Q1(x)(這裡Q，Q1均為有理函式)，滿足關係QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考慮的方程總是代數可解的．或者說，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一個置換．方程根進行這樣置換的個數是n．阿貝爾考慮並證明了這些置換的性質，這就是“置換群”。

阿貝爾遺作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“關於函式的代數解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中敘述了方程論的發展狀況，重新討論了特殊方程可解性的問題，為後來E·伽羅瓦(Galois)遺作的出版開闢了道路．在前言部分，阿貝爾暗示出一種重要的思維方法，他認為解方程之前，應首先證明其解的存在性，這樣可使整個過程避免“計算的複雜性”．在代數方程可解性理論研究中，他還提出了一個研究綱領，就是在他的工作中需要解決兩類問題：一是構造任意次數的代數可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他試圖全部刻畫可用根式求解的方程的特性．但因早逝而沒能完成這個工作，他只解決了第一類問題．幾年後，伽羅瓦接過他的工作，用群的方法徹底解決了代數方程的可解性理論問題，從而建立了現在所謂的伽羅瓦理論．

19世紀之前的300年間，數學家們一直為證明一元四次以上的方程是否有解而忙碌著，可惜他們不是望而卻步，就是半途而廢，沒有一位能揭開這個結。1818年，挪威一位16歲的男孩，在研究了前人的有關這一問題的大量資料後，堅定地對他的老師說：“讓我來解答這一歷史難題吧，我能證明四次以上的方程是否有解。”他憑著自信，聰明和勤奮，花了六年的時間，給了歷史一個圓滿的回答：一般高於四次的方程沒有代數解。這就是著名的阿貝爾-魯菲尼定理。