粗略地說，如果自然界中一些隨時間演變的體系，其各種狀態x所構成的集合X有與時間t相關的動態規律Фt(x)(-∞<l<+∞)，並且Фt(x)滿足一定的簡單自然條件，則構成一動力系統。
非遊蕩集(nonwandering set)是動力系統中的重要的不變集。一個動力系統f的所有非遊蕩點的集合稱為f的非遊蕩集，記為Ω(f)。
基本介紹
- 中文名：非遊蕩集
- 外文名：nonwandering set
- 領域：數學
- 套用：動力系統
- 性質：不變集
- 對偶概念：遊蕩集
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概念
非遊蕩集(nonwandering set)是動力系統中的重要的不變集。一個動力系統f的所有非遊蕩點的集合稱為f的非遊蕩集，記為Ω(f)。對於緊空間上的動力系統，非遊蕩集是非空的閉不變集，而且由於極限集屬於非遊蕩集，因此所有的軌道，當時刻趨於無窮時將停留在非遊蕩集的任意鄰域之中。由此看到，非遊蕩集的結構在相當程度上決定著動力系統的整體行為，故弄清非遊蕩集的構造及擾動下的穩定性(即Ω結構穩定)都是十分重要的。
遊蕩點
遊蕩點是動態系統的一種相點。由該點出發的相軌經足夠時間後將不再回歸至它的某個鄰域。其形式定義為：對R中(或流形M上)的點p，若存在它的鄰域U⊂R(或M)和某時間N>0，使對任意t>N，均有φt(U)∩U=∅，即由U內出發的軌道均離開U而不返回，則稱點p為遊蕩點，否則稱為非遊蕩點。
非遊蕩點
非遊蕩點是動力系統中最重要的概念之一，指其任意鄰域具有域回歸性的點。設f是M上的流(離散動力系統)，若對於x的任意鄰域U及任意T>0(N>0)，存在t>T(n>N)，使得：
則點x∈M稱為非遊蕩點。對於半流與離散半動力系統，非遊蕩點定義相同。極限點、周期點以及P式穩定軌道上的點都是非遊蕩點。不是非遊蕩點的點稱為遊蕩點。
不變集
動力系統中的重要概念之一。它是動力系統研究的重要對象。設f是M上的流(離散動力系統)，M的子集A是不變集若且唯若對任意t∈R(n∈Z)，有：
由此得出f(t，A)=A(f(A)=A)。粗糙地說，不變集就是由整條軌道組成的子集。如果A⊂M是一不變集，則f對A的限制也是一動力系統。對於半流及離散半動力系統f，設A是M的子集，若對任意t≥0(n≥0)有f(t，A)⊂A(fn(A)⊂A)(此時不一定有f(t，A)=A(fn(A)=A))，那么就稱A是f的不變集。重要的不變集有ω極限集、α極限集、非遊蕩集和鏈回歸集等。
動力系統
粗略地說，如果自然界中一些隨時間演變的體系，其各種狀態x所構成的集合X有與時間t相關的動態規律Фt(x)(-∞<l<+∞)，並且Фt(x)滿足一定的簡單自然條件，則構成一動力系統。如果Фt(x)對t可微，則得到一常微分方程組。動力系統主要研究抽象系統的整體性質，這些整體性質有些是拓撲式的，也有些是統計式的，後者主要是遍歷性。可見，動力系統理論是經典常微分方程理論的一種發展。
對動力系統的研究開始於19世紀末，1881年以後，法國數學家龐加萊開始的常微分方程定性理論的研究就可以看作是動力系統的創始。後來有許多學者，特別是美國數學家G.D.伯克霍夫(1912年以後)從事動力系統一般定性理論的研究，他分別從整體區域和奇點附近兩個方面進行研究，證明了三體問題中的幾何定理，推進了馮·諾伊曼的工作，得到強形式的遍歷性定理。1931年以後，原蘇聯數學家馬爾可夫(小)總結了G.D.伯克霍夫的理論，正式提出動力系統的抽象概念。在以後的若干年裡，原蘇聯學者對動力系統理論的發展做出了貢獻，例如，柯爾莫戈羅夫和阿諾爾德等建立了關於哈密頓系統方程組解的穩定性理論。
20世紀60年代以後，動力系統的研究又發生了質的變化。這主要起源於結構穩定性的研究。常微系統結構穩定性的概念首先由原蘇聯數學家安德羅諾夫和龐特里亞金於1937年就某類平面常微分方程組提出。20多年以後，由於出現了二維結構穩定系統稠密性定理，這方面的研究才引起人們的重視。美國數學家斯梅爾在原蘇聯動力系統學派的影響下，開始了現代抽象動力系統的研究，他在1966年國際數學家大會上作的《微分動力系統》報告標誌著現代微分動力系統這個新興理論分支的誕生。由於在高維情形下稠密性定理不再成立，這就介入了具有異常複雜性的分形問題，這也許更符合自然界中出現的一些混沌現象。20世紀80年代以來，人們關心的洛倫茲奇異吸引子及費根鮑姆現象復甦了復解析函式疊代理論的研究，一些著名數學家的工作使復解析動力系統理論有了實質性的突破與進展。
緊空間
1.具有有限交性質的閉集族有非空交。
2.具有有限交性質的集族其各成員之閉包的交非空。
3.任意網有聚點。
4.任意濾子有聚點。
5.任意極大濾子是收斂濾子。
平凡空間、有限補空間都是緊空間，但實直線不是緊的。緊性是閉遺傳的且具有可積性。緊空間的連續像是緊空間。緊豪斯多夫空間是正規空間。
緊性概念起源於在1894年被證明的波萊爾定理：閉區間的任意可數開覆蓋有有限子覆蓋。勒貝格(Lebesgue，H.L.)注意到該定理對閉區間的任意開覆蓋同樣成立。波萊爾(Borel，(F.-É.-J.-)É.)於1903年又將此結果推廣到歐氏空間的有界閉子集上。亞尼謝夫斯基(Janiszewski，Z.)於1912年對於抽象空間曾用過緊性概念。緊空間的概念是菲托里斯(Vietoris，I.)於1921年引入的。在緊空間理論形成和發展過程中，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)和謝爾品斯基(Sierpiski，W.)於1921年，薩克斯(Saks，S.)於1921年，亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)和烏雷松(Урысон，П.С.)於1923年，吉洪諾夫(Тихонов，А.Н.)於1930年，都先後作出了卓越的貢獻。
