非退化臨界點

非退化臨界點(nondegenerate critical point)是指在該點處的二階導運算元有有界逆的臨界點。設X是希爾伯特空間，f∈C²(X，R)，x₀是f的臨界點.若f″(x₀)：X→X有有界逆，則稱x₀是f的非退化臨界點，否則，稱臨界點x₀是退化的。設M是C²希爾伯特流形，f∈C²(M，R)，x₀是f的臨界點，取x₀處的局部坐標系(U，φ)，若φ(x₀)是泛函f°φ ^-1的非退化臨界點，則稱x₀是f的非退化臨界點，否則稱f的臨界點x₀是退化的。M上泛函f的臨界點的非退化性不依賴於局部坐標系的選取，非退化臨界點必是孤立臨界點。

基本介紹

• 中文名：非退化臨界點
• 外文名：nondegenerate critical point
• 所屬學科：數學
• 相關概念：臨界點，莫爾斯引理等

基本介紹

定義

設是類流形，是類函式。點稱為函式的臨界點，如果在局部坐標下，等式成立。數稱為函式的臨界值，流形上所有其餘的點將稱為函式的非臨界點，所有不是函式臨界值的數稱為這個函式的非臨界值。

臨界點稱為孤立的，如果可找到它的這種鄰域，在其中沒有其它的臨界點。臨界點稱為非退化的，如果二階偏導數的矩陣是非退化的；反之，臨界點稱為退化的。

考慮二次型，其中，它稱為函式在點p處的Hessian二次型。因矩陣A是對稱的，二次型可通過適當地選取坐標，化為正則形式

如果A非退化，則。

數稱為函式在點的指標，而數稱為函式在點p的退化度。

例題解析

由公式給定一個上的函式，顯然，偏導數

它們僅在點同時為零。因此點是孤立臨界點，所有的二階偏導數

在處也都為零，因此函式在點處的二階偏導數的矩陣是零矩陣，而函式在點的Hessian二次型恆等於零，這表明，臨界點是退化的，在點處，的退化度為2，指標為0。

相關定理及概念

Morse引理

臨界點理論中的一個重要事實是：在臨界點的附近函式可表示為二次型的形狀，且函式的性態由它的指標來描述。

定理1(Morse引理) 設是函式的非退化臨界點，則在點的某鄰域U中存在這樣的局部坐標系，使得，並且在U上成立以下恆等式

其中是點的坐標，而是函式在點p的指標。

梯度場

設是上的Riemann度量，對每一點，選一個向量，使得以下條件成立：對任意的向量，成立等式

其中是函式在點的微分在向量處的值。所得的場稱為函式的梯度場，記作。