廣義莫爾斯引理

廣義莫爾斯引理是經典莫爾斯引理到希爾伯特空間中泛函的退化臨界點情形的推廣。

基本介紹

• 中文名：廣義莫爾斯引理
• 外文名：generalized Morse lemma
• 適用範圍：數理科學

簡介

廣義莫爾斯引理是經典莫爾斯引理到希爾伯特空間中泛函的退化臨界點情形的推廣。

設X是希爾伯特空間，U為X中原點的開鄰域，f∈C²(U,R)，0是f的臨界點，L=f''(0)是弗雷德霍姆運算元，X中的元x=y+z，其中y∈ker(L)，z∈R(L)，則存在0在X中的開鄰域V，0在ker(L)中的開鄰域W，局部同胚h:V→U，及函式φ∈C²(W,R)，使得h(0)=0，φ'(0)=0，φ''(0)=0，且

發展

經典的莫爾斯引理由莫爾斯(Morse,H.M.)在1925年就有限維空間中的非退化臨界點情形給出。之後，帕萊斯(Palais,R.S.)，格羅莫爾(Uro-moll,D.)，邁耶(Meyer,W.)，奎泊爾(Kuiper,C.)，康比尼(Cambini,A.)，霍夫爾(Hofer, H.)等人給予推廣。

上述形式的推廣屬於冒鑫(Mawhin,J.)和威倫姆(Willem,M.)。

退化臨界點

非退化臨界點是指在該點處的二階導運算元有有界逆的臨界點。設X是希爾伯特空間，f∈C²(X,R)，x₀是f的臨界點。若f''(x₀):X→X有有界逆，則稱x₀是f的非退化臨界點。否則，稱臨界點x₀是退化的。

設M是C²希爾伯特流形，f∈C²(M,R)，x₀是f的臨界點，取x₀處的局部坐標系(U,φ)。若φ(x₀)是泛函f∘φ^-1的非退化臨界點，則稱x₀是f的非退化臨界點。否則，稱臨界點x₀是退化的。