非線性控制的幾何方法，非線性控制理論中採用微分流形、李群、李代數等近代幾何工具研究非線性系統的特性和控制的方法。
基本介紹
- 中文名：非線性控制的幾何方法
- 所屬學科：數學
非線性系統的運動軌線表現為空間中的一條曲線，不同控制作用下的軌線族構成空間中的一些曲面。微分幾何方法的原理是，將系統運動與微分流形上的向量場結合起來，對曲線、曲面的研究可轉化為研究其切線、切面，而切線、切面是平面性的，從而可以用類似於線性系統的子空間的方法研究非線性系統。20世紀60年代末，一些系統與控制學家套用李代數、分布、對偶分布等幾何概念刻畫非線性系統的能控性和能觀測性取得很大成功。隨後，對工程中廣泛存在的仿射非線性系統，線上性化、解耦、輸出調節、鎮定等的研究上取得很大進展，非線性控制的幾何方法開始形成。到80～90年代，它已成為非線性控制理論中的一個主導方向和基本方法。進一步發展是將微分幾何方法與微分代數方法、中心流形理論、哈密頓函式方法等的結合。數學模型 在非線性控制的幾何方法中，非線性系統的數學模型的一般形式為：仿射非線性系統的數學模型為：式中t表示時間，狀態x(t)是微分流形M上的點即x∈M，輸入u(t)和輸出y(t)取值於歐幾里得空間，f,hi是M上的可微向量場，g是可微函式，dx(t)/dt是定義在流形上的微商。能控性和能達性 狀態z∈M是由狀態x∈M能達的，規定為存在容許控制u(t)，使得在有限時間內可把狀態z引導到狀態x。用Q(x)表示由狀態x能達的狀態的集合，則當Q(x)=M時系統的狀態x為能控的。如果每個狀態x∈M都是能控的，則系統是能控的。能控性涉及系統在流形上的整體性質，這是一個很難的問題。線性化 指通過坐標變換和狀態反饋將非線性系統的數學模型轉化為線性系統。對仿射非線性系統已經建立了可以轉化為線性系統的充分必要條件。對線性化系統可以採用線性系統理論的方法綜合它的控制。擾動和狀態解耦 擾動解耦是指綜合適當的控制使系統的輸出不受擾動的影響。狀態解耦則指利用一部分控制操縱相應的一部分狀態（或輸出）而不影響其他的狀態（或其他輸出）。輸出調節與跟蹤 輸出跟蹤是指綜合適當的控制使系統的輸出跟蹤預先指定的軌線。輸出調節則是綜合適當的控制使系統的輸出保持為恆定值的特殊情形。鎮定 綜合控制使非線性系統實現漸近穩定。還包括L2增益控制、魯棒控制、輸入–輸出規律的實現等。推薦書目 ISIDORIA.NonlinearControlSystems.3rded.Berlin:Springer,1995.
