一類非線性薄板的建模與控制

《一類非線性薄板的建模與控制》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由姚鵬飛擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：一類非線性薄板的建模與控制
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：姚鵬飛
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

考慮工程上常見，但尚未被研究過的一類非線性材料薄板彎曲形變的建模與控制。我們假定性材料是某類各向異性的非線性材料，從給定彈性能和動能出發，用變分原理給出薄板的數學公式，即內部動力學方程和適當的邊界條件，特別考慮固定邊界條件，自由邊界條件，及混合邊界條件。對所得模型，建立短時解存在性，進而研究控制問題。用黎曼幾何工具研究非線薄板的邊界精確可控性問題以及內部精確可控性問題；研究平衡態附近的局部精確可控性；研究從一個平衡態到另一平衡態的大範圍精確可控性。在邊界上引入反饋控制，用幾何方法研究非線性薄板問題整體解存在性和物理能量穩定性；在內部引入反饋控制，研究非線性薄板波問題整體解的存在性和物理能量穩定性。

結題摘要

本項目的目的是研究非線性薄板的建模與控制及相關問題。我們主要獲得了一下成果： （1）在假定小形變但材料是非線性情形下，我們求得了非線性薄板的動力學系統，並推廣到了非線性薄殼情形；（2）. 研究了變係數Euler-Bernoulli薄板的非線性內反饋的穩定性問題。主要貢獻是用黎曼幾何方法給出了內反饋域所滿足的幾何條件。根據非線性反饋率在原點及無窮遠處增長階，分別確立了物理能量的衰減率； （3）. 研究了移動域上變係數波方程的邊界反饋穩定性問題，主要結果有：對非正徑向曲率，我們給出了多項式階的能量衰減估計；對非負徑向曲率，我們求得了能量的下方估計。對非負徑向曲率，我們求得了具有移動邊界變係數波方程的可控性。（4）. 具有阻尼的外域上變係數雙曲系統的能量衰減問題。我們採用微分幾何乘子，將能量衰減與徑向曲率聯繫起來。在不同的徑向曲率條件下，給出了不同的能量衰減律。（5）. 求得了具有彎曲中面和混合邊界條件的熱彈性板問精確能控性與近似能控性。 （6）. 薄殼彎曲問題和無窮小等距的結構. (7). 給出了非線性薄殼的成穴問題的公式。 （8）發表了專著《Modeling and control in vibrational and structural dynamics. A differential geometric approach》。詳細介紹了近15年來，黎曼幾何方法在分布參數系統控制領域中所取得的一系列重要成果。