霍普夫不變數

在數學特別是代數拓撲學中，霍普夫不變數（Hopf invariant）是球面之間某些映射的一個同倫不變數。

基本介紹

• 中文名：霍普夫不變數
• 外文名：Hopf invariant
• 分類：同倫論
• 領域：數理科學

歷史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）構造了霍普夫映射 ，並通過利用圓周 對任意 的環繞數（=1），證明了 是本質的，即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫群 是由 生成的無限循環群。1951年，讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面（n 奇）有理同倫群 是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面（ n 偶），在 次處多出一個無限循環同倫。

定義

設 是一個連續映射（假設 ）。則我們可以構造胞腔復形

這裡 是2n-維圓盤通過 貼上一個 。 胞腔鏈群 在度數n只是由n-胞腔自由生成，故它們在度數 0、n 與 2n是 ，其餘都是零。胞腔（上）同調是該鏈復形的（上）同調，因為所有邊緣同態必然是零（注意到 n>1），上同調是

記這些上同調群的生成元為

與

因為維數原因，這些類之間的所有杯積除了 一定都是平凡的。從而作為一個環，上同調是

整數 是映射 的霍普夫不變數。

性質

定理： 是一個同態。進一步，如果n是偶數，則h映到 。

對霍普夫映射霍普夫不變數是1（這裡 n=1,2,4,8，分別對應於實可除代數 ，而二重複疊 將球面上的一個方向送到它生成的子空間）。只有這些映射的霍普夫不變數是 1，這是最先由弗蘭克·亞當斯（Frank Adams）證明的一個定理，後來麥可·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。

推廣到穩定映射

可以定義一種非常一般的霍普夫不變數概念，但需要一些同倫論知識預備：

設 表示一個向量空間而 是其單點緊化，即對某個 有 而 。如果 是任意帶基點的空間（在上一節中不明確），如果我們去無窮遠點為 的基點，則我們可以構造楔積 。

現在令 是一個穩定映射，即在約化垂緯函子下穩定。F 的（穩定）幾何霍普夫不變數是

是從 到 映射的穩定 -等變同倫群中一個元素。這裡穩定意為“在垂緯下穩定”，即通常等變同倫群在 上（或 ）的正向極限；而 -的作用是 的平凡作用與交換 中兩個因子。如果我們令表示典範對焦映射而是是恆等，則霍普夫不變數由下式定義：

這個映射原本是從到的映射。但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫-等變群的典型元素。也有一個非穩定版本的霍普夫不變數，為此我們必須考慮向量空間 V。