陪位重心

陪位重心(symmedian point)亦稱類似重心或勒穆瓦納點，是與三角形重心有關的一個點。三角形三條陪位中線的交點，稱為該三角形的陪位重心，即三角形重心的等角共軛點。若G是△ABC的重心，K是G的等角共軛點，則K是△ABC的陪位重心。勒穆瓦納(É.M.H.Lemoine)於1873年，向法國科學進步協會會議提交的論文《三角形特殊點的某些性質》中，提出了有關幾何結構的類似重心學說，後經多年的研究，使理論更完善而嚴密，形成一套包括基本公式、勒穆瓦納圓定理等的三角形幾何理論。

基本介紹

• 中文名：陪位重心
• 外文名：symmedian point
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（三角形）
• 別名：類似重心或勒穆瓦納點
• 簡介：三角形三條陪位中線的交點

基本介紹

對於△ABC，它的重心設為M，在△ABC所在平面上另有一點M'，使有∠MAB=∠CAM'、∠MBC=∠ABM'、∠MCA=∠BCM'，則點M'叫做△ABC的類似重心，或者叫做陪位重心。

三角形的類似重心到三邊距離的平方和達到極小值。

陪位中線與陪位重心

設△ABC的三條中線是AD、BE、CF，如果射線AX與AD關於∠BAC的角平分線對稱，射線AX和BC邊的交點是X，則線段AX叫做△ABC的一條類似中線，或叫做陪位中線，同樣地，可以作出△ABC的另兩邊上的類似中線BY和CZ。

可以證明，一個三角形的三條類似中線交於一點，這一交點叫做這個三角形的類似重心，或叫做陪位重心。這是十九世紀由萊莫恩(E.Lemoine，1840~1912)引入的三角形的一個特殊點，所以又叫做萊莫恩點。

相關結論及概念

1. 過三角形陪位重心作三邊的平行線與各邊相交的六個交點共圓。

這個圓叫做第一勒穆瓦納圓，該圓於1873年為Lemoine所得到。設K為△ABC陪位重心，過K作LM∥BC交AB、AC於L、M，作PQ∥AB交BC、AC於P、Q，作ST∥AC交BC、AB於S、T。

圖1

圖2

連結TQ、AK，因為四邊形ATKQ是平行四邊形，所以TQ與AK互相平分。因為AK是△ABC的陪位中線，所以過K點的關於BC的逆平行線也被AK平分，故而TQ為關於BC的逆平行線。

於是∠AQT=∠ABC=∠ALM，T、L、M、Q四點共圓。同理可證Q、P、S、M四點共圓，T、L、P、S四點共圓，從而得到T、L、P、S、M、Q六點共圓。

2.過三角形陪位重心作各邊的逆平行線與各邊相交的六個交點共圓，這個圓叫做三角形的第二Lemoine圓(Second lemoine circle of triangle)。

該圓於1873年為Lemoine所得到。

圖3

圖4

逆平行線：過△ABC內任一點K，作直線交AB、AC於L、M，使△AML∽△ABC，但LM不平行於BC，則稱ML為過K關於BC的逆平行線。三角形有三類這樣的逆平行線。若K是陪位重心，則K將平分過K的三條逆平行線。

設K是陪位重心，LM、PQ、ST是過K點的逆平行線，因為

∠ALM=∠C，∠AML= ∠B，

∠BST=∠A，∠BTS=∠C，

∠CQP=∠B，∠CPQ=∠A，

所以∠ALM=∠BTS，△KTL是等腰三角形，其兩腰KL= KT。

同理有KP = KS，KM = KQ。

又陪位重心K平分過K點的逆平行線，所以又有KL= KM，KP = KQ，KS = KT。

這樣L、P、S、M、Q、T六點到K點的距離相等，從而這六點共圓。