勒穆瓦納圓(Lemoine circle)是兩個著名的多點共圓問題,由勒穆瓦納(É.M.H.Lemoine)提出的兩個多點共圓問題。勒穆瓦納圓包括第一勒穆瓦納圓(first Lemoine circle)和第二勒穆瓦納圓(second Lemoine circle)。第一勒穆瓦納圓又稱為三重比圓,第二勒穆瓦納圓又稱為餘弦圓。
基本介紹
- 中文名:勒穆瓦納圓
- 外文名:Lemoine circle
- 所屬學科:數學(平面幾何)
- 簡介:兩個著名的多點共圓問題
- 提出者:勒穆瓦納(É.M.H.Lemoine)
基本介紹,第一勒穆瓦納圓,第二勒穆瓦納圓,
基本介紹
1.三條勒穆瓦納平行線與三角形周界的六個交點在同一個圓上(圖2),這個圓稱為這個三角形的第一勒穆瓦納圓,該圓在三角形三邊上所截的弦與三邊的立方成比例,故又稱為三重比圓。
2.過三角形的陪位重心所作三邊的逆平行線(即逆相似邊)的六個端點在同一個圓上(圖3)。
這個圓稱為這個三角形的第二勒穆瓦納圓,該圓在三角形三邊上所截的弦與對角的餘弦成比例,故又稱為餘弦圓。
第一勒穆瓦納圓
過三角形陪位重心作三邊的平行線與各邊相交的六個交點共圓。
陪位重心:設△ABC的三條中線AM、BN、CL的交點為G(重心),過A作AM'使∠CAM'=∠BAM,作BN'使∠ABN'=∠CBN,作CL'使∠ACL'=∠BCL,則AM'、BN’、CL'三線共點於K,這個點就稱為三角形的陪位重心,AM'、BN'、CL'稱為陪位中線。
該圓於1873年為Lemoine所得到。設K為△ABC陪位重心,過K作LM∥BC交AB、AC於L、M,作PQ∥AB交BC、AC於P、Q,作ST∥AC交BC、AB於S、T。
連結TQ、AK,因為四邊形ATKQ是平行四邊形,所以TQ與AK互相平分。因為AK是△ABC的陪位中線,所以過K點的關於BC的逆平行線也被AK平分,故而TQ為關於BC的逆平行線。
於是∠AQT=∠ABC=∠ALM,T、L、M、Q四點共圓。同理可證Q、P、S、M四點共圓,T、L、P、S四點共圓,從而得到T、L、P、S、M、Q六點共圓。
第二勒穆瓦納圓
三角形的第二Lemoine圓(Second lemoine circle of triangle):過三角形陪位重心作各邊的逆平行線與各邊相交的六個交點共圓。
該圓於1873年為Lemoine所得到。
逆平行線:過△ABC內任一點K,作直線交AB、AC於L、M,使△AML∽△ABC,但LM不平行於BC,則稱ML為過K關於BC的逆平行線。三角形有三類這樣的逆平行線。若K是陪位重心,則K將平分過K的三條逆平行線。
設K是陪位重心,LM、PQ、ST是過K點的逆平行線,因為
∠ALM=∠C,∠AML= ∠B,
∠BST=∠A,∠BTS=∠C,
∠CQP=∠B,∠CPQ=∠A,
所以∠ALM=∠BTS,△KTL是等腰三角形,其兩腰KL= KT。
同理有KP = KS,KM = KQ。
又陪位重心K平分過K點的逆平行線,所以又有KL= KM,KP = KQ,KS = KT。
這樣L、P、S、M、Q、T六點到K點的距離相等,從而這六點共圓。