逆相似邊(inversely similar side)亦稱逆平行線，是與三角形某一邊有關的一條線段，指連結三角形兩邊上點的具有逆相似性的線段。設在△ABC的邊AB和AC上分別取點D和E，使AB∶AC=AE∶AD，因而△AED∽△ABC，這時△AED與△ABC逆相似，線段DE稱為△ABC的邊BC的逆相似邊，或稱直線DE是邊BC關於△ABC的逆平行線。
基本介紹
- 中文名：逆相似邊
- 外文名：inversely similar side
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(三角形)
- 別名：逆平行線
- 簡介：與三角形某一邊有關的一條線段
概念,逆相似邊的性質,逆相似邊與陪位中線的性質,舉例分析,勒穆瓦納圓中的逆相似邊,
概念
若B'、C'分別是△ABC中AC和AB(所在直線)上的點，△ABC∽△A'B'C'且頂點排列順序方向相反(即為鏡像相似)，則稱BC和B'C'為關於∠A的逆平行線。線段B'C'稱為△ABC的邊BC的逆相似邊。
圖1逆相似邊的性質
逆相似邊有如下性質（圖1）：
(1)B、C、B'、C'四點共圓；
(2) 同邊的逆相似邊互相平行；
(3)三角形各邊的逆相似邊與該三角形的外接圓各頂點的切線平行。
逆相似邊與類似中線關係密切，有性質：過三角形的一個頂點而平分對邊的逆相似邊是類似中線。
逆相似邊與陪位中線的性質
陪位中線與逆平行線有如下性質：
在△ABC中，以BC為弦作一圓，與AB、AC交於點C'、B'，則∠AB'C'=∠B，就稱B'C'為BC的逆相似邊或逆平行線。在一個三角形中，
(1)同邊的逆平行線平行；
(2)某邊的逆平行線被這邊陪位中線平分；
(3)過頂點平分其對邊逆平行線的直線是陪位中線；
(4)被陪位中線平分的線段必為逆平行線。
證明：(1)結論是明顯的。
(2)設M是BC中點，B'C'與BC陪位中線交於點M'(圖略)，由△ABC∽△AB'C'及∠BAM =∠B'AM'，可得
，即M'是B'C'的中點，AM'平分B'C'。
(3)若AM'平分B'C'，則有△AB'M'∽△ABM，∠B'AM =∠BAM，即AM'是BC的陪位中線。
(4)設BC的陪位中線平分線段B'C'於點M'，若B'C'不是BC的逆平行線，則過B、C、B’作一圓交AB於點C"，B'C"是BC的逆平行線，由(2)知B'C"被AM'平分，設中點為M"，則M'M"是△B'C'C"的中位線，得M'M"// AB，但AM'與AB相交於點A，矛盾，所以B'C'是BC的逆平行線。
舉例分析
勒穆瓦納圓中的逆相似邊
三角形的第一Lemoine圓 過三角形陪位重心作三邊的平行線與各邊相交的六個交點共圓。
陪位重心：設△ABC的三條中線AM、BN、CL的交點為G(重心)，過A作AM'使∠CAM'=∠BAM，作BN'使∠ABN'=∠CBN，作CL'使∠ACL'=∠BCL，則AM'、BN’、CL'三線共點於K，這個點就稱為三角形的陪位重心，AM'、BN'、CL'稱為陪位中線。
圖2
圖3該圓於1873年為Lemoine所得到。設K為△ABC陪位重心，過K作LM∥BC交AB、AC於L、M，作PQ∥AB交BC、AC於P、Q，作ST∥AC交BC、AB於S、T。
連結TQ、AK，因為四邊形ATKQ是平行四邊形，所以TQ與AK互相平分。因為AK是△ABC的陪位中線，所以過K點的關於BC的逆平行線也被AK平分，故而TQ為關於BC的逆平行線。
於是∠AQT=∠ABC=∠ALM，T、L、M、Q四點共圓。同理可證Q、P、S、M四點共圓，T、L、P、S四點共圓，從而得到T、L、P、S、M、Q六點共圓。
三角形的第二Lemoine圓：過三角形陪位重心作各邊的逆平行線與各邊相交的六個交點共圓。
該圓於1873年為Lemoine所得到。
圖4
圖5逆平行線：過△ABC內任一點K，作直線交AB、AC於L、M，使△AML∽△ABC，但LM不平行於BC，則稱ML為過K關於BC的逆平行線。三角形有三類這樣的逆平行線。若K是陪位重心，則K將平分過K的三條逆平行線。
設K是陪位重心，LM、PQ、ST是過K點的逆平行線，因為
∠ALM=∠C，∠AML= ∠B，
∠BST=∠A，∠BTS=∠C，
∠CQP=∠B，∠CPQ=∠A，
所以∠ALM=∠BTS，△KTL是等腰三角形，其兩腰KL= KT。
同理有KP = KS，KM = KQ。
又陪位重心K平分過K點的逆平行線，所以又有KL= KM，KP = KQ，KS = KT。
這樣L、P、S、M、Q、T六點到K點的距離相等，從而這六點共圓。
