間接平差

間接平差是在確定多個未知量的最或然值時，選擇它們之間不存在任何條件關係的獨立量作為未知量組成用未知量表達測量的函式關係、列出誤差方程式，按最小二乘法原理求得未知量的最或然值的平差方法。間接平差為平差計算最常用的方法，其數學模型比較簡單，便於評定平差值及其函式的精度。

基本介紹

• 中文名：間接平差
• 外文名：Indirect Adjustment
• 適用學科：誤差理論與測量平差基礎

定義

圖1 邊角網

以觀測方程作為函式模型的平差方法，稱為間接平差法。如圖1所示邊角網，有5個觀測值，必要觀測數t=2。如果選擇P點坐標作為2個獨立參數，則可以列出所有觀測方程。

例如，S₁邊和角度β₁的觀測方程為

實際上，如果在這些方程中，將觀測值的期望值用觀測值本身來代替的話，這些方程之間將產生矛盾。平差的目的就是合理地消除這些矛盾。

設在測量系統中有n個觀測值L，又選擇了t個獨立參數，觀測方程的一般形式可表示為

線性化形式為

上式可寫成

如果將真值△和用估值V和代替，則有

上式稱為誤差方程。間接平差法的隨機模型為已知觀測值的方差及相關信息。

原理

間接平差法可以列出n個如下平差值線性方程。

設

則平差值方差可以寫成矩陣形式為

設

即參數平差值由近似值X⁰和改正數構成，則矩陣形式可變為

參數的解算應滿足條件。問題變為求極值問題，將對求導，並令其為零得

轉置得

上式與參數平差值的矩陣形式共同組成間接平差的基礎方程。基礎方程共有（n+t）個，方程中的未知量個數為n+t，且基礎方程中的係數陣均為滿秩陣，因此，可以由基礎方程得到改正數向量V和未知參數向量的唯一解。

求解基礎方程得

設，，則上式可簡寫為

或寫為

綜合以上公式，可得到改正數向量V的解，從而得到觀測值及參數的平差值為

過程與步驟

（1）在測量系統中，選擇t個獨立參數，其個數應與必要觀測數相同。參數的選取具有較大的自由度，如可以使得所選參數為有用值，且使得建立誤差方程較為容易；

（2）列出誤差方程，並將其線性化；

（3）根據實際套用情況，確定觀測值的權；

（4）由誤差方程的係數陣及常數項，組成法方程的係數陣及常數項陣；

（6）由誤差方程計算觀測值改正數向量V，並求出觀測值的平差值。