重整化群方法在非線性動力學中的發展和套用

《重整化群方法在非線性動力學中的發展和套用》是依託北京郵電大學，由蘭岳恆擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：重整化群方法在非線性動力學中的發展和套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：蘭岳恆
• 依託單位：北京郵電大學

項目摘要

針對當前諸多前沿領域中出現的多自由度、非平衡、非線性複雜體系計算繁冗和定性理解困難的問題，本項目結合理論分析與數值計算，發展非線性動力學分析中的重整化群方法，找出體系相空間中起組織作用的重要軌道，如同宿或異宿軌道、周期軌道等，導出這類軌道的近似解析表達式，分析它們對參數的依賴關係，從而揭示系統性質的變化；抓住系統的主要特徵和關鍵可觀測量，利用重整化群方程半解析地構建約化流形和約化運動方程，大大提高數值計算的效率，為深入的理論分析提供方便；並基於群方程演化不變的特性對各類物理量展開式進行重求和，使得不同手段導出的解析級數序列在更大範圍內給出更準確的計算結果。本理論方法將用於非線性時空演化方程的分析，耦合振子同步的尺寸效應，分子動力學的模擬計算、周期軌道圈圖展開的加速收斂，隨機序列平均增長率的快速準確計算等一系列前沿方向。

結題摘要

1. 重整化群在耦合振子同步動力學上的套用 高維非線性方程的分析缺乏系統的方法。重正化群方法在這裡又將進一步拓展成為一種有效的坐標變換方法，將非線性方程根據需要變換為便於求解的標準型。在耦合振子系統中，我們獲得了相位和振幅的一系列重整化近似，開創了此領域全新的解析方法。 2. 重整化群思想在小系統熱力學中的套用 與熱庫接觸的小系統，是近年來非平衡統計物理研究的前沿。我們將重整化群思想運用於一個典型小系統平均最優功獲取方案的研究，通過新穎的坐標變換得到平均功演化滿足的微分方程，將一個較為複雜的隨機動力學問題重整化為參數演化的確定性問題，從而獲得問題的解，為這一類問題的分析提供了一個嶄新的理論框架。 3. 利用重整化群思想研究非平衡統計力學 非平衡條件下布朗粒子的定向運動，是各領域廣范關注的問題。工作包括兩個方面：（1）用Feynman-Kac公式得到平均熵增滿足的微分方程，然後利用快慢時間尺度分離得到熵的平均產生率，為大分子有效自由度的探測提供了理論支持。（2）將具有複雜形狀的布朗粒子受力重整為幾個位形參數的函式，從而得出粒子平均定向運動速度，可以套用於手性分子的分離。 4. 複雜網路結構層次的重整化研究 如果能夠找出結構和功能之間的聯繫,就能對網路及其代表的複雜系統有較深入的理解。我們結合圖論和動力學信息，對多個細胞生化網路進行多層次的分解，發現了這一類型網路中的重整化結構-即現代控制論中的前導反饋基本單元在各個層次反覆出現. 這一研究為複雜系統的分析和進一步約化奠定基礎。 5. 神經傳導帶噪信號的重整化群計算 對於離散噪聲， 精確度和計算效率的矛盾始終存在。我們利用混合計算法非常有效地求解了描述這一離散過程的主方程：首先基於重整化群變換的思想，以多項式為基函式近似演化生成函式方程，然後隨機取樣以修正狀態。這一算法為其它各種帶噪信號的計算提供了新思路。