超限直徑

超限直徑(transfinite diameter)由費克特(Fekete，M.)於1923年引入，被用於研究共形映射。波利亞(Pólya，G.)和賽格(Szego¨，G.)就R與R的一些特殊集合算出d與Dα的值，從而也求得它們的容量。

基本介紹

• 中文名：超限直徑
• 外文名：transfinite diameter
• 領域：數學
• 提出者：費克特
• 作用：研究共形映射
• 性質 ：函式極限

概念

如下定義的一個和點與點之間的距離有關的集函式。對R的緊集F(無限集)，關於對數核K(x)=-log|x|，當m→∞時，

單調增加，把exp[-B_m(F)]的極限d(F)稱為F的超限直徑，那么d(F)=C_l(F)，它還等於F的切比雪夫常數。在R中，把K換成正規化的α核K_α(x)，稱相應定義的1/B_m(F)的極限D_α(F)為α階廣義超限直徑，那么D_α(F)=C_α(F)。超限直徑由費克特(Fekete，M.)於1923年引入，被用於研究共形映射。波利亞(Pólya，G.)和賽格(Szego¨，G.)就R與R的一些特殊集合算出d與D_α的值，從而也求得它們的容量。

集函式

集函式是以集類為定義域的函式。設C是Ω上的一個集類，K是實數域或複數域，稱映射μ：C→K為定義在C上的集函式。重要的(數值)集函式有測度、集上的積分等。若實值集函式的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函式為擴充實值集函式。關於集函式，也可引入單調性、收斂性等概念。例如，設μ是定義在集類C上的實值集函式。如果對任意A，B∈C，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，則說μ在C上是單調增加的。設{μ_n}是集類C上的集函式列。若對每個A∈C，數列{μ_n(A)}收斂，則說{μ_n}在C上收斂。若對每個A∈C，有：

則稱{μ_n}在C上收斂於μ。若對任意ε>0，存在正整數N，當n>N時，對一切A∈C，都有：

則稱{μ_n}在C上一致收斂於μ。

當K是向量空間或運算元集時，分別稱映射μ：C→K為C上的向量值集函式或運算元值集函式。常見的這種集函式有向量值測度、譜測度和譜積分等。

緊集

亦稱緊緻集。拓撲空間的一類重要點集。設C是拓撲空間(X，T)的子集，若C關於T的相對拓撲是緊空間，則稱C為緊集。緊空間的閉子集是緊集。拓撲空間的緊集未必是閉集，但豪斯多夫空間的緊集是閉集。拓撲空間中有限個緊集的並仍為緊集。兩個緊集的交未必是緊的，但閉且緊的子集的任意交是閉且緊的。拓撲空間的緊集的閉包可以不是緊的，但T₃空間的緊集的閉包是緊的。若A是n維歐幾里得空間R的子集，則A是緊集若且唯若A是有界閉集。

共形映射

共形映射是黎曼流形間保持角度不變的映射。設(M，g)和(N，h)是兩個黎曼流形，f：M→N是光滑映射。若存在M上的光滑函式σ，使得fh=eg，則稱f是局部共形映射。若f本身是可微同胚，則稱f是共形映射，並且稱(M，g)和(N，h)是共形等價的。兩個切向量之間的夾角在局部共形映射下保持不變；在任意一點p∈M，切向量v∈T_pM在局部共形映射f的切映射下的伸縮係數|fv|/|v|是常數。黎曼流形(M，g)到自身的共形映射又稱為共形變換。黎曼流形在共形等價下的不變數是外爾(Weyl，(C.H.)H.)的共形曲率張量。

黎曼流形

一黎曼度量的微分流形。設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：

1.g是對稱的，即g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈T_pM，p∈M)。

2.g是正定的，即g(X，X)≥0 (X∈T_pM，p∈M)，且等號僅在X=0時成立。

簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。