計算幾何套用基礎問題研究

《計算幾何套用基礎問題研究》是依託大連理工大學,由王仁宏擔任醒目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：計算幾何套用基礎問題研究
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王仁宏

項目摘要

本項目擬系統開展分片代數曲線和分片代數簇的研究。主要研究內容是分片代數曲線的若干基本定理，處理分片代數簇的基本框架和計算方法。與已往工作不同的是，本項目中研究的分片代數曲線和分片代數簇是最廣泛的分片代數曲線和分片代數簇，即藉以界定分片代數曲線和分片代數簇的多元樣條的剖分可以不盡相同；同一剖分上各內剖分線(面)的跨界光滑度也可以不盡相同。因而難度很大，如在處理它們的公共零點集時，必須處理諸多不同剖分疊合所導致的影響，這需要一定的邏輯判斷、不等式約束以及分片多項式跨界性質等。

結題摘要

本項目基本按照研究計畫執行，圍繞分片代數曲線和分片代數簇開展研究工作，主要研究重點為：分片代數曲線的若干基本定理，處理分片代數簇的基本框架和計算方法。同時增加了一些曲線曲面造型、微分方程數值解和散亂數據處理等方面的研究，並開展了一些套用問題的研究，對解決多元樣條理論和套用問題具有一定意義。 理論方面的研究包括：對分片代數曲線和分片代數簇的理論研究取得一些創新性成果，研究了任意三角剖分上分片線性代數曲線的Bezout型定理以及貫穿三角剖分上C0分片代數曲線的Cayley-Bacharach定理；給出了貫穿剖分與擬貫穿剖分下分片代數簇的Hilbert零點定理；分片代數簇與多元樣條環之間的代數與幾何關係；對多元樣條的空間維數及其穩定性，非均勻II型三角剖分上3次樣條空間具有局部支集的基函式等基礎問題取得一些新的結果；對BOX樣條和多元截斷冪進行研究，給出了二元截斷冪的顯式表達式和BOX樣條沿各個方向剖分線上的最小光滑度；將多元樣條與組合問題相結合，獲得了一些有意義的結果。 套用方面的研究包括：提出了一種自適應的利用二型三角剖分上樣條函式來逼近光滑曲線的符號距離函式方法， 並利用該方法研究了曲線的裁剪偏移；在曲線曲面造型中，給出了插值曲率線的可展曲面的構造方法, 並且給出了曲面的具體表達形式；將測地線和極小曲面相結合, 研究了插值測地線的極小曲面逼近問題；討論了擬—Plateau問題，即如何在滿足整個或部分邊界的定義在矩形域的所有參數曲面中找到面積最小的曲面；對一種線性二進制六點細分格式進行了分析，證明了這個格式具有高階連續性，多項式再生性以及保凸性；以及樣條方法在數值逼近，數據擬合，數值積分，微分方程數值解等方面中的套用取得了一系列的結果。 共發表論文30篇，其中SCI檢索27篇， EI檢索20篇。召開全國幾何設計與計算學術會議（GDC 2013），參與人數250餘人，項目組成員在會議上做相關方向15分鐘分組報告多次。培養博士研究生6名，碩士研究生3名，博士生李彩雲獲得2011年教育部博士研究生學術新人獎。