mu基理論及其在計算幾何中的套用

《mu基理論及其在計算幾何中的套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由賈曉紅擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：mu基理論及其在計算幾何中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：賈曉紅
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

Mu基源於動曲線與動曲面理論，是用以研究曲線和曲面性質的有效代數工具。因其良好的代數與幾何性質，成為聯結曲線與曲面參數表示與隱式表示之間的橋樑，是Syzygy模理論在計算機輔助設計和幾何建模領域中的新套用。我們將把mu基理論及算法推廣到一般有理代數曲面上，並由此構造一般有理曲面自交線檢測的高效計算方法；我們將研究空間有理曲線隱式化的mu基算法以及空間有理曲線相應的Rees代數結構的分析；此外我們還將進行浮點mu基及近似mu基的推廣問題的研究。本項目所研究的問題是計算幾何與幾何建模學科的重要問題，這些問題的解決將為計算機輔助幾何設計在工業領域的套用開闢更廣闊的空間。項目申請人在mu基理論及算法方面有很好的基礎，有望在所提問題上取得實質性進展。

結題摘要

Mu基理論是代數上的Syzygy模理論在計算幾何中的新套用。Mu基是有理曲線曲面的參數方程和隱式方程之間的橋樑，是一種全新的曲線曲面的表達形式；因其良好的代數與幾何性質，為曲線曲面的快速隱式化、正則參數化、奇異點計算、逆公式表達等重要問題提供了捷徑。本項目主要研究在工業套用中頻繁出現的一些特殊曲面的mu基理論，及mu基理論在碰撞檢測及曲面藍噪聲採樣等領域的系列套用。 我們建立了圓環面的mu基系列理論：給出了標準圓環面mu基的顯示表達，給出了由圓環面的隱式方程提取曲面的位置、姿態、形狀參數並且計算其mu基的符號計算算法，並且用mu基給出了曲面的快速隱式化方法和點逆公式表達；我們也已將成果套用到碰撞檢測相關的實際問題中去：給出了兩圓環面交線的拓撲形態分類、給出了計算兩連續運動及變形中的二次曲面的交線形態變化過程的符號計算算法、給出了連續運動中的二次曲面組合體的碰撞檢測算法、以及給出了一系列曲面的藍噪聲採樣算法等。 以上成果針對的是計算幾何與幾何建模學科的重要問題，這些問題的解決將為計算機輔助幾何設計在工業領域的套用開闢更廣闊的空間。