有理曲面的μ基理論及其套用

《有理曲面的μ基理論及其套用》是依託哈爾濱工業大學，由史曉冉擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：有理曲面的μ基理論及其套用
• 依託單位：哈爾濱工業大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：史曉冉

項目摘要

μ基是新近出現在幾何造型領域中研究曲線和曲面性質與計算的一種代數工具，它提供了一種聯繫曲線和曲面的參數表示與隱式表示之間的橋樑。基於曲線μ基的優異成果，我們將把μ基的理論推廣到一般的有理代數曲面上。研究一般有理曲面的μ基的高效算法，給出完善的有理曲面μ基的代數與幾何性質。完成μ基在曲面造型中的重要套用：計算有理曲面上的特徵點（奇異點，自交線，拐點等）；構造快速的有理曲面的隱式化方法；曲面重新恰當參數化等。並且對基於隱式方程表示的曲面，可以利用μ基構造它的參數表示，達到μ基在曲面表示上的二面性。項目申請人已經完成了某些特殊曲面的μ基的研究，有良好的理論基礎，有望在μ基理論上有實質性的進展，發掘μ基在計算代數幾何中的價值。

結題摘要

在本項目的資助下，項目負責人及團隊系統研究了兩類特殊曲面的mu基構造方法及其套用。針對雙準線有理曲面、四元數有理曲面，完成了mu基及動平面的構造，利用對應係數矩陣的行列式完成隱式方程的計算，結果上較結式等經典結論更加高效且均不含有多餘的代數分支。並且給出四元數有理曲面奇異點的計算方法，及判斷有理曲面是否是四元數曲面的充要條件；此外，我們還研究了幾何造型中常用的圓錐曲線、三次平面有理曲線，給出此類曲線mu基的顯式表示，較基於高斯消元的mu基算法更加簡單直觀，並給出更加緊湊的隱式方程構造方法。在此基礎上，可以更簡潔，更直接的獲得三次有理曲線的二階奇異點位置信息，並且圓錐曲線有關結論可以推廣到任意n維空間相對應的n次有理曲線上。最後，歸納了目前有理曲線曲面mu基的發展現狀與問題展望，完善了有理曲線曲面mu基的理論框架。在項目執行期內，取得了較好的研究成果，課題組共發表已標註基金號的SCI檢索論文4篇，另有在投文章1篇，培養碩士研究生1名，本科生2名。相關論文發表在《Computer Aided Geometric Design》、《Graphical Models》期刊上。在本項目的支持下，參加了第七屆、第九屆全國幾何設計與計算學術會議（GDC2014，GDC2016），2016年墨西哥計算代數和幾何建模國際會議（CAGM2016）等相關國內外會議若干次。完成項目的預定研究目標。