基於符號-數值混合計算的誤差可控算法及套用

《基於符號-數值混合計算的誤差可控算法及套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由支麗紅擔任項目負責人的重大研究計畫。

基本介紹

• 中文名：基於符號-數值混合計算的誤差可控算法及套用
• 項目類別：重大研究計畫
• 項目負責人：支麗紅
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

數值計算具有速度快、適用範圍廣的特點，但是一般不能保證結果的整體正確性，符號計算可以對一大類問題提供完整與準確的解答，但是大部分已知的符號計算方法複雜度很高。符號-數值混合計算試圖結合這兩種算法，針對一大類問題，發展速度快並且可以給出滿足這類問題完整求解所必需精度的可驗證或誤差可控算法。本項目將針對科學計算中的基本問題：大規模矩陣向量運算，具有套用背景的線性方程組求解， 基本的代數運算（例如：因式分解、 最大公因子等）， 非線性代數、微分、差分方程組求解,發展誤差可控的符號-數值混合算法與無誤差的符號算法，並套用這些算法研究慣性約束聚變大規模數值模擬中的誤差控制等重要套用問題。

結題摘要

數值計算具有速度快、適用範圍廣的特點，但是一般不能保證結果的整體正確性，符號計算可以對一大類問題提供完整與準確的解答，但是大部分已知的符號計算方法複雜度很高。符號-數值混合計算試圖結合這兩種算法，針對一大類問題，發展速度快並且可以給出滿足這類問題完整求解所必需精度的可驗證或誤差可控算法。項目組在可信算法的理論研究和算法實現中取得了重要的成果，在高檔數控系統核心模組設計、慣性約束聚變大規模數值模擬研究中取得了實質性的套用，促進了可信軟體的理論和實際相結合的研究，部分解決重大研究計畫的核心科學問題之一：誤差可控的計算。 提出了計算誤差可控、快速衰減的求解係數矩陣為單調矩陣或對稱正定矩陣的線性方程組的新型計算方法。給出高精度的Krylov子空間疊代方法，提出高效高精度的預處理技術以控制誤差傳播。 將牛頓疊代推廣到奇異代數系統的求解，證明了新算法的二次收斂性。解決了驗證微小擾動多項式方程組在機器精度範圍內是否有孤立重根的難題，開發了（半）代數系統根的近似求解、精化和驗證的可信計算軟體包。 針對在發展高端數控系統中遇到的多種重要約束，設計了快速的時間最優的插補算法，提出了給定路徑情形的跟蹤誤差有界控制高效算法。 提出了由數值與近似計算恢復精確解的可信計算，並套用於代數數極小多項式重構和因式分解等，提高了可信計算的效率。 給出了平面（空間）有理曲線的奇異點樹的展開算法, 建立了圓紋面的mu基理論。 建立了微分與差分Chow形式與稀疏結式的新理論，提高了微分消去法的效率，給出了一類由多項式係數的線性微分和差分方程組定義的數學對象加法的快速算法，提出了以約化為基本操作的Creative Telescoping方法。 針對Z箍縮驅動慣性約束聚變(ICF)數值模擬中遇到難點問題，構造了適應格線變形的高精度有限體積格式，開展了相應的區域分解算法和界面算法的適定性、穩定性、誤差收斂估計等方面的研究。在JCOGIN框架上完成了組合幾何區域分解並行算法，並與粒子並行結合實現兩級並行計算，完成了非規則數據通信算法研究，確保分解的組合幾何區域之間粒子通信正確、高效。