《分片多項式系統在幾何造型中的套用基礎研究》是依託浙江工商大學，由賴義生擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分片多項式系統在幾何造型中的套用基礎研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：賴義生
- 依託單位：浙江工商大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目對分片多項式系統的若干拓撲理論及其在幾何造型中套用的基礎理論與方法進行研究。研究內容包括建立關於構造具有預先給定拓撲、給定次數及光滑度的實分片代數超曲面的粘合理論及其Patchwork方法；確定分片多項式系統的Betti數的界，建立計算分片系統的Betti數與Euler示性數的理論及算法；建立分片多項式的臨界點和奇點的粘合理論；確立分片多項式系統的Betti數、指數為i的臨界點數與剖分的胞腔數、內頂點數、內公共面數、分片多項式的次數以及光滑度之間的約束關係；確定低次分片多項式的臨界點指數分布的分類，以及各類中分片多項式的係數約束條件。基於上述理論與方法，開展半代數集與半代數函式在曲線曲面造型的套用研究。研究目標：建立半代數函式的光滑性以及半代數集之間的光滑拼接理論；構造半代數集與半代數函式表示曲線曲面的方法。本項目為信息與計算科學提供新的理論和方法，為幾何造型提供新的工具。
結題摘要
鑒於分片多項式既有一定的整體光滑性又有局部性的特性, 使得其在套用上有很大的自由度、靈活性和方便性,因此具有一定光滑度的分片代數(超) 曲面與分片多項式系統已成為表示或逼近幾何物體的重要方法之一. 本項目研究內容：分片多項式系統（幾何中稱為分片代數簇）的若干拓撲理論及其在幾何造型中的套用基礎理論、方法與算法的研究；半代數集與半代數函式在幾何造型中的套用基礎理論、方法與算法的研究。項目取得的新理論、新方法及算法成果主要如下: 1.建立了關於構造具有預先給定拓撲、給定次數及光滑度的實分片代數(超)曲面的粘合理論及其“Patchwork”方法；2. 首次確定了實分片代數(超)曲面與曲線的Betti數的界，給出了多項式系統正解數、實解數、超曲面分支數、分片代數曲線Bezout數的新界；3.建立了有理曲面高效隱式化且完全自動化的若干理論、方法及高效算法；4.建立了求解參係數分片多項式系統的理論、方法及相應算法；給出了參係數分片多項式系統關於交點數的分類理論及其算法，以及在各個胞腔上具有給定零點數的充要條件的算法；5.構建了多層次B-樣條擬插值運算元及其相應的數值積分方法；6.提出了基於Bézier控制點技術求解橢圓型微分方程的最小二乘方法；7建立了積分型六次樣條函式插值方法；8.給出了平面參數曲線一種新的近似隱式化方法；9.建立了一類具有插值性質的MQ擬插值運算元；10.構建了一類計算兩點線性邊值問題數值解的多步差分格式；11.提出了廣義Cornu螺線的五次多項式逼近方法； 12.提出了兩條Bezier曲線G3拼接的顯式方法；13.提出了基於strain能量最小的G2連續五次平面Hermite插值方法。 研究成果在理論上豐富了計算幾何、實代數幾何、計算代數幾何、計算機輔助幾何設計內容。套用上將為研究計算幾何、實分片代數幾何以及具有複雜拓撲結構的幾何造型提供新工具、新理論與新方法；為分片多項式系統在工程、科學計算以及幾何造型的套用中若干關鍵理論與算法問題的發展提供理論與方法上的支撐。
