解析函式的分形邊界性質研究

《解析函式的分形邊界性質研究》是依託湖南師範大學，由劉竟成擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：解析函式的分形邊界性質研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉竟成
• 依託單位：湖南師範大學

項目摘要

我們考慮單位圓盤D上解析且連續到邊界L的函式f(z). 記f(D)的邊界為S, 如果S的原像C是一個Cantor型集，則稱f具有Cantor邊界性質(簡稱CBB). 我們已在CBB 這一研究領域取得了一定的研究成果，本項目繼續深入探討CBB. 主要研究以下問題：1.探討 Cantor 型集C的測度問題；2. 探討更多分形集上Hausdorff測度的Cauchy變換的CBB性質；3.研究CBB 函式的像區域邊界維數問題； 4.CBB的充分條件和必要條件以及CBB與函式空間的聯繫研究.

結題摘要

本項目主要研究解析函式的Cantor邊界性質及相關問題，它是由董新漢教授和劉家成教授提出並詳細研究。項目負責人和參與人在此項目的資助下繼續深入研究Cantor邊界性質及相關問題。取得了如下主要研究進展：1. 給出了函式具有Cantor邊界性質但Cantor集測度為零的一個充分條件，這是Cantor集測度研究的重大突破；2. 證明了黎曼函式在某些條件下滿足Cantor邊界性質，豐富和充實了Cantor函式類；3.在Cantor邊界性質和SLE以及函式空間的研究中，我們證明了Dirichlet型空間的Cesaro運算元的有界性和緊性的充要條件，給出了Loewner方程中切向裂紋所對應驅動函式的精確解；4.研究了平面上自仿Tile和自仿集的連通性問題，給出了一些特殊分形集連通的充條件；5.研究了高維連續共線性自仿測度的譜性問題，給出了其測度為譜測度的充分條件。