《邊界理論、外逼近，與分形上的微分方程》是依託湖南師範大學，由倪思敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：邊界理論、外逼近，與分形上的微分方程
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：倪思敏
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將循機率和分析兩途徑研究分形上的調和函式、狄氏形、拉普拉斯運算元與微分方程。我們著重於非後臨界有限，特別是有重疊的自相似集。一直以來,分形分析主要採取兩方法：一是通過構造布朗運動的機率方法，二是Kigami內逼近的分析方法。然而，目前的理論只能套用在幾類沒重疊的自相似集上。.邊界理論為分形研究提供了另一機率途徑。我們將用該豐富的理論推廣近期有關Martin邊界與調和函式的結果, 並研究拉普拉斯運算元。另一方面, 我們將通過分析途徑研究高維有界開集上，由自相似測度定義的拉普拉斯運算元。我們提議通過熱核估計，解決波速問題。在此基礎上，我們將結合外逼近的方法，定義自相似集上的拉普拉斯運算元。.本項目的兩途徑是互補且非傳統的。除了上述的理論和方法，我們還將利用有限型及弱分離兩條件。我們的目標是在有重疊的自相似集上，建立分形分析的基本理論, 為進一步研究分形上的物理現象和分形的套用打下基礎。
結題摘要
本項目研究了分形上的邊界理論，外逼近，及有重疊分形上的微分方程。在熱核估計、波速，分形拉普拉斯運算元的譜，有限型分形的分析、幾何、與測度性質等問題上取得了較突出的結果，為進一步研究分形上的微分方程打下基礎。分形上無窮波速的特殊性質在物理、工程上或許有套用。對分形拉普拉斯運算元，我們推導了一類有重疊分形上熱核的次高斯估計，並證明了在此類分形上波速的無窮性；得出了運算元的特徵值的若干估計；在一類滿足廣義有限型條件的分形上得出了譜維數與特徵值漸進公式；得出了有重疊分形上薛丁格運算元的Bohr公式；研究了分形波動方程的存在、唯一性及數值逼近。這部分的研究成果超出了原來計畫。我們研究了Hata樹的邊界理論，證明了定義在符號空間上一馬氏鏈的Martin邊界同胚於Hata樹的樹幹，最小Martin邊界為後臨界集，而且再邊界上的P-調和函式和Kigami定義的在吸引子上的調和函式是一致的。在外逼近問題上，我們研究了在有界區域定義並滿足混合邊界條件的拉普拉斯運算元；得出了其擁有以特徵函式為正交基的充要條件；利用這些理論，在Sierpinski墊上用外逼近方法構造了拉普拉斯運算元。另外，本項目也研究了分形的基本性質，這些研究直接或間接的促進了項目的進展。我們證明了一族三維自仿tile與球同胚；證明了一大類二維自相似tile為擬圓盤，且一般自仿tile為非擬圓盤；求出了一類廣義有限型測度的Lq譜，並證明其可導性；研究了無窮有重疊疊代函式系並證明了通過拓撲熵求極限集維數的公式；得出了有重疊有限型圖遞歸自相似集邊界的Hausdorff與盒維數。 本項目已發表SCI論文8篇，已接受待發表SCI論文1篇，已投稿論文4篇，尚未投稿論文4篇。合作召開了2個國際性學術研討會和1個專題分會。項目主持人參加會議並作學術報告8次，多次訪問了清華大學、香港中文大學、湘潭大學, 目前正在美國哈佛大學訪問。主持人兩名博士生赴美國訪學交流6個月，赴美國康奈爾大學開會，且在“卡內基梅隆-喬治亞南方大學分形與分析研討會”上作學術報告一次。
