《局部域分析及其在分形分析中的套用》是依託南京大學，由邱華擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：局部域分析及其在分形分析中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：邱華
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
分形分析是當前國際數學領域最熱門的研究分支之一。作為分形分析的一個重要工具，局部域分析在分形分析中的套用與日俱增地受到科學家們的重視。由於局部域具有自然分級與類分形的結構, 因此可以構建理論框架來描述複雜系統（如分形）的混沌行為。我們關注局部域分析，試圖揭示其本質性質，並探求套用於分形分析的理論依據。本課題集中在以下四個方面的研究：1，改進並完善p-型微積分理論，用p-型微積分工具研究局部域上的分形函式並刻劃其性質；2，研究局部域上的調和分析與函式空間理論，發展局部域上的表現理論與分解理論，刻劃局部域上的分形空間並解決分形函式圖象的維數估計問題；3，建立局部域上的p-型微分方程理論，包括微分運算元譜理論及解的性質，研究Laplace方程的Dirichlet問題；4，研究局部域分析在分形分析理論中的套用，建立分形微分運算元，發展分形集合上的微分方程理論，解決具有分形邊界的Dirichlet問題。
結題摘要
分形分析是當前國際數學領域最熱門的研究分支之一，主要處理底空間為分形的對象上的分析類問題。作為分形分析的一個重要工具，局部域分析在分形分析中的套用與日俱增地受到科學家們的重視。由於局部域具有自然分級與類分形的結構, 因此可以構建理論框架來描述複雜系統（如分形）的混沌行為。本課題的科研目標集中在以下兩個方面：1.發展局部域分析，試圖揭示其本質性質，並探求套用於分形分析的理論依據；2.研究由J. Kigami和Robert S. Strichartz等人發展起來的分形上的Laplace運算元的分析性質。關於第一方面，我們發表和完成了5篇論文。利用擬微分運算元理論引入了局部域上的新型Gibbs-Butzer導數的定義，並給出了它在局部域分析上的重要套用。這一導數運算元關於檢驗函式空間以及相應的分布空間是封閉的。我們構造了該運算元的卷積核，研究了它的譜性質，刻劃了它的全體特徵值和特徵函式。關於第二方面，我們發表和完成了2篇文章。首先，我們研究了Strichartz domain上的Kigami的Laplace運算元的精確譜刻劃。Strichartz domain是最典型的帶有分形邊界的分形區域，被認為是研究和刻劃分形Laplacian的很多重要性質和猜測的最直接的驗證對象。針對特徵值計數函式的Weyl漸進性質，研究表明該計數函式除了有主項漸進估計外，還有二階項漸進估計。這與Weyl-Berry關於一般區域上的Lapacian的譜漸進猜測完全吻合，預示著帶有分形邊界的分形區域上應該也有類似的譜漸進行為。其次，我們得到了Sierpinski gasket型的分形對象上調和函式（以及Laplacian定義域內一般函式）的平均值性質。除此以外，在自相似集的維數與測度方面，我們也寫了兩篇文章。其一是證明了滿足分離條件的自相似集的Packing測度的關於其相應疊代函式系統的連續性；其二是解決了廣義有限型條件下線性Cantor集的精確Hausdorff測度和Packing測度的計算問題。
