覆蓋曲面

覆蓋曲面是黎曼曲面理論中引進的重要概念。常見的覆蓋曲面有：非限覆蓋曲面、光滑覆蓋曲面、萬有覆蓋曲面三種。

基本介紹

• 中文名：覆蓋曲面
• 外文名：covering surface
• 適用範圍：數理科學

概念

覆蓋曲面是黎曼曲面理論中引進的重要概念。

相關類型

非限覆蓋曲面

σ 為投影映射， 是 p 上的點， p 為 的投影。設 和 r 分別是 和 R 上的曲線，若 ，則稱是 r 的提升。若對任意的 R 上的曲線 r 和 r 的起始點上的任意點 ，r 的以為起始點的提升總存在，則稱為 R 的非限覆蓋曲面。

單值性定理稱：若是 R 的非限覆蓋曲面，r₁和 r₂為 R 上任兩個同倫曲線，它們的以共同起始點 p₀上的一點為起始點的提升分別為和，則它們亦有相同的終點，且是同倫的。

光滑覆蓋曲面

設 R 和為兩曲面，如存在到 R 的映射σ，使得對每一點，存在一個鄰域，而在 σ上的限制是到的一個鄰域 U 的拓撲映射，此時稱為 R 的光滑覆蓋曲面。

對光滑覆蓋曲面，提升不是恆存在的，但如存在則是惟一的。

萬有覆蓋曲面

投影映射作為連續映射誘導的基本群與 R 的基本群 F 的子群 G 同構，並稱 G 為的跡群，記 。反之，對 R 的基本群 F 的任意子群 G ，恆存在一個非限覆蓋曲面，使得其基本群的跡群為 G 。若 G 只包含 F 的么元素 e ，則相應的覆蓋曲面稱為萬有覆蓋曲面，它是單連通的覆蓋曲面。