西爾維斯特矩陣

西爾維斯特矩陣，是與兩個多項式相關的矩陣，從這個矩陣可以知道這兩個多項式的一些信息。

基本介紹

• 中文名：西爾維斯特矩陣
• 外文名：Sylvester matrix
• 分類：數理科學

定義

設p和q為兩個多項式，次數分別為m和n。因此：

於是，與p和q相關的西爾維斯特矩陣，就是通過以下方法得到的矩陣{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}：

• 第一行為：

• 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
• 下面的(n-2)行也是用這種方法得出，每次都往右移一列。
• 第(n+1)行為

• 餘下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我們設m=4和n=3，則矩陣為：

套用

西爾維斯特矩陣用於交換代數中，例如測試兩個多項式是否有一個（非常數）公因式。確實，在這種情況下，相關的西爾維斯特矩陣的行列式（稱為兩個多項式的結式）等於零。反過來也成立。

以下線性方程組的解

其中是大小為的向量，是大小為的向量，由滿足下式的多項式對（次數分別為和）的係數向量構成：

這就是說，西爾維斯特矩陣的轉置的核給出了裴蜀方程的所有解，其中且。

這樣，西爾維斯特矩陣的秩決定了和的最大公因式的次數：