行列式依行展開

行列式依行展開(expansion of a determinant by a row)是計算行列式的一種方法，設a_i1，a_i2，…，a_in (1≤i≤n)為n階行列式D=|a_ij|的任意一行中的元素，而A_i1，A_i2，…，A_in分別為它們在D中的代數餘子式，則D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in稱為行列式D的依行展開。如果行列式D的第i行各元素與第j行各元素的代數餘子式對應相乘後再相加，則當i≠j時，其和為零，行列式依行或依列展開不僅對行列式計算有重要作用，且在行列式理論中也有重要的套用。

基本介紹

• 中文名：行列式依行展開
• 外文名：expansion of a determinant by a row
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(行列式)
• 簡介：計算行列式的一種方法

基本介紹

設a_i1，a_i2，…，a_in(1≤i≤n)為n階行列式D=|a_ij|的任意一行中的元素，而A_i1，A_i2，…，A_in分別為它們在D中的代數餘子式，則D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in稱為行列式D的依行展開。

例如，在一個三階行列式D中，划去元素a_ij(i=1, 2,3; j=1, 2,3)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一個二階行列式稱為元素a_ij的餘子式，記作M_ij。而將(-1)^i+jM_ij稱為元素a_ij的代數餘子式，記作A_ij，即A_ij=(-1)^i+jM_ij。例如

其中，元素 的代數餘子式分別為

由三階行列式的展開式(12-4) 及代數餘子式，我們將三階行列式D可表示為D= a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂ + a₂₃A₂₃，此式稱為行列式按第二行的展開式。同樣，行列式也可按其他行或列展開，於是每個行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每個元素與它對應元素的代數餘子式乘積的和，即

D= a_i1A_i1+ a_i2A_i2 + a_i3A_i3 ( i=1,2,3 )， (1)

D= a_1jA_1j+ a_2jA_2j + a_3jA_3j( j=1,2,3 )， (1')

我們把類似(1)式的展開稱為行列式的依行展開式，把(1')式稱為行列式的依列展開式。

相關定理

定理1（行列式依行展開定理） n（n>1）階行列式D=|a_ij|等於它任意一行的所有元素與它們對應的代數餘子式的乘積的和，即

定理2如果行列式D的第i行各元素與第j行各元素的代數餘子式對應相乘後再相加，則當i≠j時，其和為零。因此有

【例1】 設

依第二行展開，並求D的值。

解：

說明 直接利用行列式依行展開公式計算並不簡便，因此，在實行計算中，經常是先利用性質化簡，再依行展開，即把某一行通過變換，化出較多的0來，再降階計算。