自回歸滑動平均模型

自回歸滑動平均模型，又名ARMA模型（Auto-Regressive Moving Average Model）。屬於時間序列分析中的一種，20世紀70年代，由美國統計學家金肯（JenKins）和波克斯（Box）提出。

基本介紹

• 中文名：自回歸滑動平均模型
• 外文名：Auto-Regressive Moving Average Model
• 別稱：ARMA模型
• 提出時間：20世紀70年代
• 提出人：金肯（JenKins）和波克斯（Box）
• 學科：數理科學

ARMA模型簡述

ARMA模型屬於時間序列分析中的一種，20世紀70年代，由美國統計學家金肯（JenKins）和波克斯（Box）提出。

模型形式

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回歸項和q個移動平均項，ARMA(p,q)模型可以表示為：

。

式中符號： p和q是模型的自回歸階數和移動平均階數；φ和θ是不為零的待定係數；ε_t獨立的誤差項； 是平穩、正態、零均值的時間序列。

ARMA滯後運算元表示法

ARMA(p,q)模型可以表示為：

或。

若 ,則ARMA過程退化為MA(q)過程 若 ，則ARMA過程退化為AR(p)過程。

模型含義

使用兩個多項式的比率近似一個較長的AR多項式，即其中p+q個數比AR(p)模型中階數p小。前二種模型分別是該種模型的特例。一個ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程。

識別條件

平穩時間序列的偏相關係數和自相關係數均不截尾，但較快收斂到0，則該時間序列可能是ARMA(p,q)模型。實際問題中，多數要用此模型。因此建模解模的主要工作是求解p、q和φ、θ的值，檢驗 和 的值。

模型階數

AIC準則：最小信息準則，同時給出ARMA模型階數和參數的最佳估計，適用於樣本數據較少的問題。目的是判斷預測目標的發展過程與哪一隨機過程最為接近。因為只有當樣本量足夠大時，樣本的自相關函式才非常接近母體的自相關函式。具體運用時，在規定範圍內使模型階數從低到高，分別計算AIC值，最後確定使其值最小的階數是模型的合適階數。
模型參數最大似然估計時 。
模型參數最小二乘估計時 。
式中：n為樣本數， 為擬合殘差平方和，d、p、q為參數。其中：p、q範圍上線是n較小時取n的比例，n較大時取 的倍數。實際套用中p、q一般不超過2。

建模步驟

主要建模步驟如下：

（1）對時間序列進行零均值平穩化處理。變形時間序列一般可分為平穩時間序列和趨勢性序列。時間序列的趨勢又分為線性趨勢和非線性趨勢。若變形時間序列為非平穩序列，具有向下或向上的趨勢，建模之前需要進行序列平穩化處理，即零均值化、平穩化處理。平穩化處理的詳細方法在後面敘述。

（2）開始，逐漸增加模型階數，擬合ARMA (n,n-1)模型，即一階、一階增加模型階數，模型參數採用非線性最小二乘法估計，具體算法採用最速下降法。選擇殘差序列最小方差對應的模型作為初選模型。

（3）模型適應性檢驗。模型適應性檢驗的採用前面詳細闡述的相關函式法，這裡不再重複。

（4）求最優模型。系統意義上的最優模型不僅是一個適應模型，而且是一個經濟的模型。因此還需要檢驗模型是否包含小參數，若有，可用F檢驗判斷是否可以刪去，擬合較低階模型，進而得到系統意義上的最優模型。

（5）變形時間序列預測。變形時間序列建模的主要目的是對變形序列未來取值進行預測，預測詳細方法在後面敘述。

相關模型

• 自回歸模型（AR模型）
• 向量自回歸模型（VAR模型）
• 差分自回歸滑動平均模型（ARIMA模型）
• 格蘭傑因果關係（Granger Causality）