自仿Tile與頻域極小緊支小波框架構造及套用

《自仿Tile與頻域極小緊支小波框架構造及套用》是依託長沙理工大學，由粟涓擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：自仿Tile與頻域極小緊支小波框架構造及套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：粟涓
• 依託單位：長沙理工大學

項目摘要

自仿Tile作為疊代函式系（IFS）的吸引子是分形幾何重點研究的一類分形集，Tile的特殊幾何結構和自相似性與小波基的構造具有緊密聯繫。本項目利用分形集Tile的特點來構造一類頻域極小緊支（MSF）小波框架。具體研究內容: （1） 利用集值方程系統研究擴張矩陣、數字集與Tile之間性質關聯數學模型，根據Riesz基、框架條件分別研究小波Riesz集、小波框架集幾何特徵；（2）對給定的擴張矩陣，研究小波集、小波Riesz集、小波框架集構造具體方案；（3）利用數學實驗，研究MSF小波框架在數字圖像處理中的套用及性能評價，面對具體的套用對象，利用實驗數據分析結果，構造相應的最優小波框架。本課題研究將豐富和拓廣經典小波框架多分辨分析構造理論，是分形幾何和小波分析相結合研究熱點之一。

結題摘要

Dai, Larson和Speegle在1997年證明了對於任意擴張矩陣存在小波集(具有特殊性質的自仿Tile),這一結果引起了分形幾何和小波分析理論及套用研究者廣泛興趣。使得利用自仿Tile自相似性來構造小波基和小波框架成為分形幾何和小波分析相結合研究主要熱點之一。 本項目主要是根據Lau Ka-Sing、Rao Hui、Wang Yang等對自仿Tile研究的深刻結果，利用自仿Tile的自相似性的特徵來構造一類頻域極小緊支小波框架，並利用實驗數據來分析小波框架套用性能。 在項目研究中,我們得到了小波集、小波框架集幾何特徵刻劃。在一維小波集構造中，引進了MSF多角形概念，利用MSF多角形斜率性質給出了任意非負整數擴張係數的MSF小波集構造幾何方法,此結果推廣了Nicola Arcozzi等構造MSF小波方法。對於任意擴張係數，我們引進MSF多角形和對偶MSF多角形概念並得到了擴充因子為負整數小波集幾何性質與構造方案，由此得到了由有限多個區間的並成為小波集的條件和判別方法。在探索擴張矩陣、數字集與Tile性質關聯數學模型中，我們提出了與Schrodinger運算元在Riesz變換中相關聯一類多線性運算元，並系統地研究了其基本性質，如多線性運算元有界性與其平均振幅等性質。關於三元素的數字集, 我們系統地研究了對應Moran測度下譜的性質，著重給出了一些條件確保存在離散數字集使得指數函式系成為Moran測度下的正交基，這些成果為探索自仿Tile與擴張矩陣和數字集之間關聯性質模型奠定基礎。 項目的研究內容屬於分形幾何和小波分析相結合的前沿領域，是小波框架構造有別於MRA的重要方法，項目的研究有助於促進分形幾何與小波分析相互滲透發展。