自仿測度的譜性、譜對偶性以及非譜性的研究

《自仿測度的譜性、譜對偶性以及非譜性的研究》是依託陝西師範大學，由李建林擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：自仿測度的譜性、譜對偶性以及非譜性的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李建林
• 依託單位：陝西師範大學

項目摘要

本項目將研究自仿集上建立Fourier分析的理論基礎。主要目標是探索支撐在自仿集上自仿測度的譜性、譜對偶關係與非譜性，闡明譜自仿測度產生的條件與性質。研究內容有：（1）譜對與和諧對的關係。擬以單位根之和為零的代數結構為基礎，建立自仿測度Fourier變換的零點分布特點與和諧對存在性之間的一些聯繫。（2）譜對偶關係。擬從處理譜問題的Ruelle轉移運算元方法與疊代逼近方法出發，通過矩陣的分解技巧, 結合自仿集上包含整數點與循環點的特徵，回答是否存在這種方法上的對偶關係。（3）非譜下正交系的有限與無限問題。擬就數字集的符號函式在立方體內的零點是有限的情形，探明擴張矩陣作用下此零點集包含整數點的特徵，給出有限與無限的判定條件。上述內容的研究將遵循從特殊到一般的原則，以平面與空間典型分形的研究為基礎，給出譜性或非譜性問題一些合理的解答，為分形背景下建立Fourier級數與Fourier變換理論奠定基礎。

結題摘要

本項目按照原定的方案與技術路線探討了自仿測度的譜性、譜對偶關係以及非譜性。主要圍繞其中存在的三個猜想，開展了四個方面研究。研究內容與重要結果主要有：（1）研究了自仿測度譜性與和諧對的關係。在Dutkay-Han-Jorgensen猜想的研究方面取得重要進展，指出當譜具有通常給定的形式時，相應的數字集具有譜性，即在一般實數情形下存在和諧對。通過引入廣義和諧對，並建立它的一些性質，以及與譜自仿測度的聯繫，使得人們尋求自仿測度下無限正交指數系的存在性變得更為簡單。同時也為用“自仿集上是否包含非零整數點、周期點與循環點”來刻畫譜對提供了許多等價的必要條件。（2）研究了和諧對下譜對偶關係的內部結構。解決了困擾大家多年的Dutkay-Jorgensen譜對偶性猜想，獲得到了“從一個舊譜得到新譜”的重要方法，並建立了譜之間的一個對偶關係。針對Bernoulli卷積這一典型情形，我們充分利用循環的特點，以及數論中同餘關係和有限群中元素階的概念和性質，獲得了這類疊代函式系中循環的特徵，給出其乘積譜（也稱為尺度譜）的重要刻畫，解決了其中的兩個公開問題。（3）研究了空間廣義Sierpinski墊上自仿測度的譜性或非譜性。獲得處理此類問題的一個方法，並探明一些分形集上支撐的自仿測度的譜與非譜性質。解決了空間Sierpinski墊上自仿測度非譜性中有關最大基數的兩個問題，完整的刻畫了其上自仿測度的非譜性。(4)研究了非譜測度下正交指數函式系的有限性與無限性的條件。給出空間自仿測度下存在無限正交指數系的一個刻畫，得到有限正交指數函式系的一個充分條件。對數字集的符號函式的零點集合在擴張矩陣作用下的變化規律有了比較好的掌握。在實數情形下，這些集合之間若存在一個包含關係，那么這類自仿測度是非譜的，並可知非譜的類型。進一步，通過對此類集合特徵分析以及非零中間點性質的套用，得到了非譜測度下正交指數系基數的一個更為精確的估計。以上研究內容豐富和發展了自仿測度的譜理論，為自仿集上建立Fourier分析理論奠定了堅實的基礎。