能量次臨界薛丁格方程基態解附近漸近行為的研究

《能量次臨界薛丁格方程基態解附近漸近行為的研究》是依託杭州師範大學，由謝劍擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：能量次臨界薛丁格方程基態解附近漸近行為的研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：謝劍
• 依託單位：杭州師範大學

項目摘要

非線性Schr?dinger方程是量子力學中的基本方程，用來描述量子系統的波函式。這一模型在物理和數學中都是大家關心的問題。而解的漸近行為是數學工作者們非常關心的定性理論問題。由於工具的缺乏，一直以來我們只能在小初值附近討論解的整體性態以及在基態解附近利用變分方法討論解的穩定性理論。近年來國際上由Kenig和Merle提出的集中緊性方法為研究大初值解的漸近行為提供了新的方法。這一方法突破了原有對初值小性的限制，具有廣闊的研究前景。.本項目將研究能量次臨界質量超臨界聚焦型非線性Schr?dinger方程在基態解附近漸近行為的分類問題以及中心穩定流形與非穩定流形結構的存在性問題。

結題摘要

在這個項目中，我們研究以下兩個問題： 1. 我們考慮焦散型齊次H^s臨界Schrödinger方程。利用集中緊性方法以及頻率分析手段，我們證明了在齊次H^s範數一致有界的條件下，解是整體的，並且散射現象存在。 2. 我們對於次臨界聚焦型雙冪次Schrödinger方程的解作了一個分類。在假設初值的質能量泛函(J)低於基態解的值前提下，如果J的變分泛函K是正的，那么對應的H^1解是整體的且散射，如果K是負的，那么對應的存在時間是有限的，並有限時間爆破。