線性最優控制是最優控制的一個特殊類，它的實質是要找出允許的控制作用（規律），使得動態系統（受控對象）從初始狀態轉移到某種要求的終端狀態，並且保證某種要求的性能指標達到最小（大）。線性最優控制所要求的電腦程式往往可以用於非線性最優控制問題。
基本介紹
- 中文名：線性最優控制
- 外文名：linear optimal control
- 研究對象：控制系統
- 主要研究問題：線性二次型問題（LQ）
- 所屬學科：控制工程
- 規律：線性最優控制規律
簡介,主要方法,最優控制理論古典變分法,最優控制理論極大值原理,最優控制理論動態規劃,優點,線性與非線性最優控制,主要研究問題,
簡介
線性最優控制（linear optimal control）最優控制問題的實質是要找出允許的控制作用（規律），使得動態系統（受控對象）從初始狀態轉移到某種要求的終端狀態，並且保證某種要求的性能指標達到最小（大）。線性最優控制是特指那類受控對象為線性時不變系統的最優控制。
線性最優控制是最優控制的一個特殊類。線上性最優控制中，受控制的裝置假設為線性的，而控制器，即產生最優控制作用的裝置也限於是線性的。這就是說，控制器輸出即最優控制是與輸人線性相關，而輸人則是對裝置進行測量而產生的量。當然，人們一定會問，為什麼要特別地研究線性最優控制，而不直接研究最優控制呢？這裡可以提出一些理由。例如，工程上許多實際裝置在其附加控制器之前是線性的，而 且線性控制器在技術上是最易實現的，且它往往能滿足需要。
主要方法
為了解決最優控制問題，必須建立描述受控運動過程的運動方程，給出控制變數的允許取值範圍，指定運動過程的初始狀態和目標狀態，並且規定一個評價運動過程品質優劣的性能指標。通常，性能指標的好壞取決於所選擇的控制函式和相應的運動狀態。系統的運動狀態受到運動方程的約束，而控制函式只能在允許的範圍內選取。因此，從數學上看，確定最優控制問題可以表述為：在運動方程和允許控制範圍的約束下，對以控制函式和運動狀態為變數的性能指標函式（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態規劃。
而線性最優控制問題，它的解可以由轉移函式表出，特別是在定常情況下，轉移函式有具體表達式，從而完全解決最優控制問題，相對於非線性最優控制問題，線性最優控制問題好解決地多。主要解決方法有一下幾種：
最優控制理論古典變分法
研究對泛函求極值的一種數學方法。古典變分法只能用在控制變數的取值範圍不受限制的情況。在許多實際控制問題中，控制函式的取值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個極限值範圍內轉動，電動機的力矩只能在正負的最大值範圍內產生等。因此，古典變分法對於解決許多重要的實際最優控制問題，是無能為力的。
最優控制理論極大值原理
最優控制理論動態規劃
動態規劃是數學規劃的一種，同樣可用於控制變數受限制的情況，是一種很適合於在計算機上進行計算的比較有效的方法。
最優控制理論已被套用於最省燃料控制系統、最小能耗控制系統、線性調節器等。
優點
線性最優控制還有以下一些優點：
1.許多最優控制問題不能用計算機求解，即使有解，但可能需要經過大量的計算工作才能得到。與此相反，幾乎所有的線性最優控制問題都容易求得解析形式的解。
2．線性最優控制的結果可以套用於在小信號條件下運行的非線性系統。更確切地說，假設針對在一定初始狀態下開始運行的某一個非線性系統已經設計了一種最優控制，如果此系統在稍為不同的初始狀態下開始運行，則對此又存在另一種最優控制，這兩種最優控制之差的一階近似在通常情況下可以由求解一個線性最優控制問題推導得出。（這樣作還給計算機處理帶來便利。）它與非線性系統最優性判據無關。
3.線性最優控制所要求的電腦程式往往可以用於非線性最優控制問題。例如，以二階變分理論和擬線性化理論為基礎的非線性最優控制設計方法，即是用線性問題序列取代非線性問題的算法構成的。
4. 線性最優控制的設計結果除具有簡單的最優性還將具有一些古典控制認為是值得注意的其他特性，例如有比較滿意的增益貯備、相位貯備及非線性容限等。因此，線性最優控制的設計方法在某些場合可用於非線性系統。
5. 線性最優控制為統一處理按古典方法研究過的控制問題提供了框架。同時，它大大地擴充了控制設計所能奏效的系統的範圍。
線性與非線性最優控制
線性和非線性最優控制理論之間既有相似之處更有重大區別。當系統為線性的時候，它的解可以由轉移函式表出，特別是在定常情況下，轉移函式有具體表達式，這就為我們的分析提供了十分便和之處。另一方面，在最大值原理基礎上獲得的Hamilton函式關於控制的偏導呈現相對簡單的形式，往往可以求出最優反饋率，從而完全解決最優控制問題。非線性的情況則複雜得多，對它的研究也不夠徹底，許多方面還有待進一步深入。這個領域的研究有一個十分明顯的特點，那就是多種數學理論和方法的綜合運用，包括非線性泛函分析、代數、和微分幾何方法等等。
線性最優控制所要求的電腦程式往往可以用於非線性最優控制問題。
主要研究問題
線性二次型最優控制問題，一般也稱做LQ或LQR（LinearQuadratic Regulator）問題，在最優控制理論與方法體系中具有非常重要的地位，也是線性控制問題的主要研究問題。線性二次型最優控制是對子線性系統的控制器設計問題，如果其性能指標是狀態變數和（或）控制變數的二次型函式的積分，則這種動態系統的最最佳化問題稱為線性系統二次型性能指標的最優控制問題，簡稱為線性二次型最優控制問題或線性二次問題。線性二次型問題的最優解可以寫成統一的解析表達式和實現求解過程的規範化，並可簡一單地採用狀 態線性反饋控制律構成閉環最優控制系統，能夠兼顧多項性能指標，因此得到特別的重視，為現代控制理論中發展較為成熟的一部分。
