積分變限函式

基本概念

設函式f(x)在區間[a,b]並且設x為[a,b]上的一點，考察下面函式：

註：1.函式變數是x，t為積分變數，兩者應注意區別。

2.積分變上限函式和積分變下限函式統稱積分變限函式。上式為積分變上限函式的表達式，當x與a位置互換後即為積分變下限函式的表達式，所以我們只討論積分變上限函式即可。

3.從幾何上看，這個積分上限函式Φ(x)表示區間[a，x]上曲邊梯形的面積．（如右圖）

積分變限函式與以前所接觸到的所有函式形式都很不一樣。首先，它是由定積分來定義的；其次，這個函式的自變數出現在積分上限或積分下限。

積分變限函式是一類重要的函式，它最著名的套用是在牛頓一萊布尼茲公式的證明中．事實上，積分變限函式是產生新函式的重要工具，尤其是它能表示非初等函式，同時能將積分學問題轉化為微分學問題。積分變限函式除了能拓展我們對函式概念的理解外，在許多場合都有重要的套用。

連續性

【定理一】若函式f(x)在區間[a,b]上可積，則積分變上限函式在[a,b]上連續。

導數定理

【定理二】如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，則積分變上限函式在[a,b]上具有導數，並且導數為：

證明過程如下：

導數推廣

如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，X0為[a，b]內任一點，則變動上積限積分滿足：

註：（1）區間a可為-∞，b可為+∞；

（2）此定理是變限積分的最重要的性質，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數，上限為參變數x（不是含x的其他表達式）；第二，被積函式f(x)中只含積分變數t，不含參變數x。

原函式存在定理

若函式f(x)在區間[a,b]上連續，則積分變上限函式就是f(x)在[a,b]上的一個原函式。

對數學思想的不斷積累並逐漸內化為自己的觀念是學習數學的重要目標．積分變限函式除了能拓展我們對函式概念的理解外，它可將積分學問題轉化為微分學的問題，在許多場合都有重要的套用．

利用變限積分求原函式

變限積分是為引入原函式而提出的，求原函式應是其最基本的套用．

化積分問題為微分問題

積分變限函式可將積分學問題轉化為微分學的問題，這是很重要的一條套用

用變限函式求定積分

很多函式的原函式是沒有辦法用初等函式表示，或者是不容易求出的，這時套用改寫變限函式會使問題得以解決。

變數替換是重要方法

變數替換是數學中重要的技巧之一，在積分中，變數替換具有特殊的意義，變限積分中的許多問題離開了變數替換就無從下手了，請見例題：