卷積積分

定義

卷積與傅立葉變換有著密切的關係。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅立葉變換，那么有如下的關係成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換。這個關係，使傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。

由卷積得到的函式（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特別當g為具有緊支集的光滑函式，f 為局部可積時，它們的卷積（f *g）（x）也是光滑函式。利用這一性質，對於任意的可積函式，都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函式列fs（x），這種方法稱為函式的光滑化或正則化。

卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函式上去。

由來

學習信號與系統必須貫穿一個核心的思想，那就是信號分解的思想。看到一個很複雜的信號，我們往往是無從下手的，這個時候若能把複雜的信號進行分解，分解成我們常見的信號，複雜信號的分析過程自然就演變成了對簡單信號的分析。也就是說我們只需要掌握一些比較典型的簡單信號的特性，而剛好一些複雜的信號都可以表示成這些簡單信號的組合，那么我們就可以實現複雜信號的分析，卷積積分的思想就源自於此。

那么到底什麼樣的簡單信號可以表示複雜信號呢？其實如果這個問題能夠回答好的，信號與系統的核心問題就解決了。對時域而言，對於連續信號，單位衝激信號就可以實現這樣的功能，於是通過推導和演變，就引出了卷積積分的定義式。在頻域，是把複雜的信號表示成不同頻率的正弦信號的線性組合，於是就引出了信號的傅立葉變換，離散信號同樣如此。

任意連續信號可以分解成單位衝激信號的線性組合，也就是說任意連續信號都可以分解成不同強度的衝激信號的線性疊加，對於不同的信號而言，分解的形式都是相同的，不同僅僅是 f(τ)這樣的一個積分形式即定義為卷積積分。

意義

任何信號都可以表示成信號本身和單位衝激信號的卷積，展開就是卷積積分的形式，不同的信號都可以分解成相同的形式，那么這個過程就簡化了分析。另外，當分析信號作用系統的回響時，對於任意信號作用於某個衝激回響為的LTI系統而言，利用疊加性和均勻性就可以得到其輸出的零狀態回響。最後可以得到的結論是系統的零狀態回響是輸入信號和系統的單位衝激回響的卷積積分。利用這樣的一種卷積積分的方法來求系統的零狀態回響較之經典的時域分析法要簡單很多，而且物理含義也比較明確。