短五引理

在同調代數中，短五引理是五引理的一個特例，它斷言：在任何阿貝爾範疇或群範疇中，若以下交換圖的橫行正合，而g，h皆為同構，則f也是同構。

基本介紹

• 中文名：短五引理
• 外文名：Short five lemma

簡介

在同調代數中，短五引理是五引理的一個特例，它斷言：在任何阿貝爾範疇或群範疇中，若以下交換圖的橫行正合，而 皆為同構，則 也是同構。此斷言是五引理的直接推論。

這個引理可以有如下詮釋：假設有態射 ，此態射在子對象及相應的商對象上誘導出的態射 皆為同構，則 本身也是同構。重點是必須先假設 的存在性。

五引理

在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。

同調代數

同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合沖模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。

同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。“同調”與“上同調”是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可藉鏈復形理解，其性質則以同調與上同調的面貌展現，同調代數能萃取這些鏈復形蘊含的資訊，並表之為拓撲空間、層、群、環、李代數與C*-代數等等“具體”對象的（上）同調不變數。譜序列是計算這些量的有力工具。

同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大，目前已遍及交換代數、代數幾何、代數數論、表示理論、運算元代數、偏微分方程與非交換幾何。K-理論是一門獨立的學科，它也採用同調代數的辦法。