矩陣力法

矩陣力法，是按力法的基本原理，以矩陣為數學工具，計算結構的內力和位移的方法，是結構矩陣分析方法中的一種。

基本介紹

• 中文名：矩陣力法
• 分類：結構矩陣分析
• 屬性：理工
• 套用領域：數學計算

矩陣力法

按力法的基本原理，以矩陣為數學工具，計算結構的內力和位移的方法，是結構矩陣分析方法中的一種。

正文

結構矩陣分析方法需將結構離散成有限數目的單元進行計算。矩陣力法中常用的單元形式為簡支式和懸臂式，這兩種單元較為簡單，其中尤以簡支式為常見。當單元承受非結點荷載時，可用等效結點荷載代替。其方法是將單元間的分界結點視為固定求出固端反力，然後反其向作用在結點上。

矩陣力法的基礎是力法

計算超靜定結構時要選取基本體系和基本未知力。選取的方法有兩種：一種是根據結構的具體情況由計算者選取，並在人為選定的基本體系的基礎上計算；另一種是把力法和線性代數中關於秩的知識結合起來，先建立結點平衡方程式，然後利用約當消去法，使多餘的基本未知力自動分離出來，這種分析方法稱為秩力法。由於前一方法與力法結合較為緊密，故較易了解和常用。
將原有荷載和基本未知力均視為外力時，可以得出結點作用力列矩陣、結構基本未知力列矩陣與單元基本未知力（桿端力）列矩陣的關係式如下：

=P+X　(1)

式中P和X分別表示結點作用力和結構基本未知力對基本體系的內力影響矩陣。
單元基本未知力與相應桿端位移之間的關係式為

=m　(2)

式中m為未裝配結構的柔度矩陣，它等於各單元柔度矩陣(i)作為子塊的對角矩陣。而桿端位移與結點的荷載方向的位移(包括結點作用力和基本未知力在荷載方向的位移P和X的關係式為

=　 (3)

式中=【P嗈X】T;為桿端位移對結點的荷載方向位移的變換矩陣。根據虛功原理，可得=【P嗈X】T。
根據上面三式，可以得到　根據相應於基本未知力方向的變形協調條件,=0，可得到式中　式(6)中X稱為已裝配結構的柔度矩陣,即一般力法基本方程中的係數矩陣δ，而P即一般力法基本方程中的自由項矩陣P，因而式(6)即為力法基本方程的矩陣表達式。由(6)即可求得,代入(1)和(4)式，即得單元基本未知力和結點荷載方向位移P。既得列矩陣，由平衡條件可求出單元全部桿端力列矩陣為

(9)

式中為單元基本未知力對單元全部桿端力的變換矩陣。實際桿端力矩陣為a應由(9)式再疊加單元非結點荷載引起的固端力矩陣f。第i單元實際桿端力矩陣應為

(10)

矩陣力法計算桿端力步驟為：①選取基本體系和基本未知力；②劃分單元，並求出等效結點荷載；③求出單元柔度矩陣i，並構成m；④求出X、P,並由(7)(8)式求出X、P;⑤由(9)式求出全部桿端力，從而由(10)式求出實際桿端桿力a。
用矩陣力法求靜定結構的位移時,由公式(4)令基本未知力X=0，即可得靜定結構結點荷載方向位移的公式為

(11)

在超靜定結構分析中，由於矩陣力法的基本未知數是多餘力，因而在計算超靜定次數較少的結構時較為合適。不過採用矩陣力法很難編制出適用於各種結構的大型通用程式。所以常採用基本體系的單元形式統一的矩陣位移法進行分析。

參考書目

普齊米尼斯基著，王德榮等譯：《矩陣結構分析理論》,國防工業出版社,北京,1974。(J.S.Przemieniecki，Theory of Matrix Structural Analysis,McGraw-Hill， New York，1968.)