直線把

直線把(bundle of lines)亦稱直線叢，空間滿足某些條件的直線的集合，指過空間一定點的所有直線的集合，定點稱為直線把的中心。經過一個定點的空間所有直線的集合稱為一個中心直線把，它們的公共點稱為直線把的中心；平行於一條固定直線的空間所有直線的集合稱為平行直線把。以已知點P₀(x₀，y₀，z₀)為中心的直線把方程為：(x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n，l+m+n≠0。l，m，n稱為直線把的參數。平行於向量 {l，m，n}的直線把方程為(x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n，其中l，m，n為已知，x₀，y₀，z₀為參數，設n≠0，則平行直線把的方程為x=az+p，y=bz+q，其中a=l/n，b=m/n，p，q為平行直線把的參數。

基本介紹

• 中文名：直線把
• 外文名：bundle of lines
• 所屬學科：數學
• 別名：直線叢
• 所屬問題：空間解析幾何
• 簡介：過空間一定點的所有直線的集合

基本介紹

空間中經過同一點P₀(x₀，y₀，z₀)的直線集合叫做中心直線把，其中心為P₀，這個直線把的方程可以寫成

其中x₀，y₀，z₀為已知，而X，Y，Z隨著不同的直線而變化，是這直線把的齊次參數，它們相當於兩個獨參數。

空間中平行於矢量a={X，Y，Z}的直線集合叫做平行直線把。它的方程形式和中心直線把一樣，不過在(1)中X,Y,Z是已知的，而x₀，y₀，z₀隨著不同直線而變化。平行直線把的獨立參數也只有兩個，這是因為和P₀同一直線的任意點都可以取代P₀，而直線上任意點的兩個坐標給出後就經過直線方程得第三個坐標。換言之，一個點的坐標是三個；但受到直線方程的限制，只有兩個坐標可以任意選取，所以直線把的獨立參數只有兩個。

假沒，則平行直線把的方程可以寫成：

x=az+p，y=bz+q， (1' )

其中為已知，不同的數偶p, q對應不同的直線, p,q是平行直線把(1')的參數。

直線把中的射影坐標

設是以已知直線把的中心S作為原點的標架。我們就取它作為空間中的笛卡兒坐標系的標架。

定義 把S中直線m的所謂射影坐標，我們是指這直線上與點S不同的任意點M的坐標x, y,z,或者說直線m的任意方向向量的坐標也一樣。

與點S不同的點和在同一條直線m上,必要且只要它們的坐標成比例，即存在實數λ，使得

這時,假如在不與點S重合這樣一個唯一的條件下,改變點M₂在直線m上的位置,對於λ我們可以得到與零不同的任意實數值。因此，如果x,y,z是把S的直線m的射影坐標,則對於任意λ≠0,λx, λy, λz也是這條直線的射影坐標，而與數x, y, z不成比例的數就不會是直棧m的射影坐標了。換句話說,把中直線的射影坐標的決定可以相差一個比例因子。這時明顯地，除掉三數組(0, 0, 0)以外,每個三數組(x, y, z)都是把中一條直程的射影坐標三數組。

向量和向量

所在的把中直線，我們分別記做在和e(圖1)。這些直線分別有射影坐標(1, 0, 0)，(0,1,0)，(0, 0, 1)和(1, 1, 1)，以及任意與它們成比例而具有比例因子λ≠0的三數組。

圖1

如果向量換成向量,這裡μ≠0,則空間中對於舊標架有坐標x, y, z的點，對於新標架將有坐標。而因為把中射影坐標的決定總可以相差一個比例因子，所以我們有結論:這時把中的射影坐標並不改變。

容易看出,逆命題也真實:如果把中每條直線對於標架的射影坐標,與它對於標架的射影坐標相同，則這兩個標架彼此都可以從別一個都過對於把的中心的同位相似而得到,也就是存在著這樣的μ≠0,使得。甚至只要求直線和e的射影坐標不改變也就夠了。實際上，那時向量應該仍然在直線上，而向量

則在直線e上;因而作在標架和上的平行六面體將是相似的，由此就推出我們的斷言。