直線劃分平面

直線劃分平面是解析幾何研究的重要問題之一。任一直線l：Ax+By+C=0把平面內的點分成三個點的集合：(1)直線上的點的集合，點到直線的距離δ=0；(2)不包含原點在內的那個半平面的點的集合，δ>0；(3)包含原點在內的那個半平面的點的集合，δ<0。直線l：Ax+By+C=0分坐標平面為兩個半平面：一個半平面內的點的坐標滿足不等式 Ax+By+C>0；另一個半平面內的點的坐標滿足不等式Ax+By+C<0。

基本介紹

• 中文名：直線劃分平面
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面解析幾何
• 簡介：直線坐標平面為兩個半平面

基本介紹

在平面仿射坐標系中，一直線l：Ax+By+C=0將此平面內l以外的任意兩點P₁(x₁，y₁)和P₂(x₂，y₂)為端點的線段P₁P₂所分成的比為

當Ax₁+By₁+C與Ax₂+By₂+C異號，即λ>0時，直線l與線段P₁P₂相交，即點P₁，P₂在直線l的異側；當Ax₁+By₁+C與Ax₂+By₂+C同號，即λ<0時，直線l與線段P₁P₂不相交，即點P₁，P₂在直線l的同側。可見，直線l：Ax+By+C=0將平面分為兩個半平面，其中一個半平面內的點的坐標適合不等式Ax+By+C>0，另一個半平面內的點的坐標適合不等式Ax+By+C<0。因此，如同平面上的直線可以看做二元一次方程的幾何表示一樣，半平面可以看做是二元一次不等式的幾何表示，由“同側同號，異側異號”的法則，要判別點P(x₀，y₀)在直線l：Ax+By+C=0的哪一側的具體方法可有：

1.若A>0，則點P在直線l的右側(x軸正向所指的一側)的充分必要條件是Ax₀+By₀+C>0；

2.若B>0，則點P在直線l的上側(y軸正向所指的一側)的充分必要條件是Ax₀+By₀+C>0；

3.若C>0，則點P與原點在直線l的同側的充分必要條件是Ax₀+By₀+C>0；

4.直線l的法向量(A，B)所指的一側的點的坐標滿足Ax+By+C>0，另一側的點的坐標滿足Ax+By+C<0；

5.若規定直線Ax+By+C=0的正方向為向量(B，-A)所指的方向，則半平面Ax+By+C>0在有向直線的左側。

相關性質及其證明

我們已經知道，如果點不在直線l:Ax+ By+C=0上，那么Ax₀+ By₀+C≠0.現在進一步證明以下重要結論:

把在直線l不同側的任意兩點的坐標代入二元一次式Ax + By+C，得到的數值異號；把在直線l同側的任意兩點的坐標代入二元一次式Ax+By+C，得到的數值同號。

證明設已知兩點及直線l:Ax+ By+C=0。

(1)如果經過P₁、P₂的直線與直線l相交，設交點為P,點P分所成的比為λ，則點P的坐標為

因為點P在直線l上，所以點P的坐標必滿足直線l的方程，即有

整理後,得，所以

由此可見:當點P₁、P₂分別在直線l的兩側時，點P內分，分比λ>0，因此與異號；當點P、Pr在直線l的同側時，點P外分，分比λ<0，因此與同號。

(2)如果經過點P₁、P₂的直線與直線l平行(此時點P₁、P₂在直線l的同側)，則此二直線的斜率相等，即有

整理後得

即

因此與同號。

由以上已證明的重要結論可知:

直線l:Ax+ By+C=0把坐標平面分為兩個半平面，其中一個半平面內的點的坐標滿足Ax+ By+C>0，另一個半平面內的點的坐標滿足Ax+ By+C<0。

在實際套用時，由於直線同一側的點的坐標代入Ax+By+C所得的值的符號相同，因此只要取不在直線上的一個點的坐標代入Ax+ By+C,由所得的值的符號，便可決定整個一側的點集的坐標代入Ax+By+C後所得的值的符號，下面分兩種情況討論：

(1)當C≠0時，直線不經過原點,Ax+ By+ C在原點處的值就是C，所以如果C>0，說明原點所在一側的區域Ax+ By+C>0,另一側Ax+By+C<0;如果C<0,說明原點所在一側的區域Ax+ By+C<0,另一側Ax+ By+C>0.

(2)當C=0時,直線過原點，同樣可用不在直線上一點的坐標代入Ax+ By，由所得值的符號決定區域的符號，為了方便起見，可選用點(1,0)或(0,-1)代人計算。