如果平面外的頂點在底面的投影正好是多邊形的某個頂點（等價於說平面外的頂點和某個頂點連成的直線垂直於地面），這樣的稜錐稱為直稜錐或直角稜錐。
基本介紹
- 中文名：直稜錐
- 外文名：right-angled pyramid
- 定義：頂點在底面的射影是底面的中心
- 性質：直四稜錐的底面是矩形
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歷史
在公元前1650年左右的萊因德數學紙草書中，稜錐已經作為數學對象被幾何學家研究。紙草書的56至59題是有關正方錐的底邊、高以及底面和側面形成的二面角之間關係的計算，如已知高和底邊長度，求二面角等。傳說由歐幾里德在公元前三世紀寫成的《幾何原本》中，第十二章第七個命題證明了：三角柱的體積等於同底同高的三角錐的三倍，但《幾何原本》中沒有給出直接的稜錐體積公式。公元一世紀左右成書的《九章算術》第五章中的第十二題，計算了正方錐、直方錐（陽馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，並給出了通用公式。公元三世紀中葉，數學家劉徽在給《九章算術》作的注中，運用極限思想證明了稜錐的體積公式。
稜錐
在幾何學上，稜錐又稱角錐，是三維多面體的一種，由多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。多邊形稱為稜錐的底面。隨著底面形狀不同，稜錐的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是正方形的稜錐稱為方錐，底面為三角形的稜錐稱為三稜錐，底面為五邊形的稜錐稱為五稜錐等等。
從稜錐的定義可以推知，一個以n邊形為底面的稜錐，一共有n+1個頂點，n+1個面以及2n條邊。稜錐的對偶多面體是同樣形狀的稜錐。例如一個方錐的對偶形是（倒立的）方錐。
稜錐的底面是多邊形，其中的頂點和多邊形所在平面外的一點用直線段相連。平面外的這一點稱為稜錐的頂點，底面多邊形的頂點稱為底面頂點。除了底面，其餘的面稱為稜錐的側面，都是由稜錐頂點和多邊形的兩個相鄰頂點構成的三角形。連線底面頂點和稜錐頂點的直線段，也是兩個相鄰側面的公共邊，稱為稜錐的側棱。一個以n邊形為底面的稜錐，總計有n個側面，加上底面，一共有n+1個面；多邊形的每個頂點對應一條側棱，一共有n條側棱。如果兩條側棱不在同一個側面，那么它們確定的平面截稜錐所得的截面是一個過稜錐頂點的三角形，其中兩條邊分別是兩條側棱，另一條邊在底面上，是底面多邊形的一條對角線，這個平面稱為稜錐的一個對角面。
如果底面是三角形，那么稜錐稱為三稜錐或三角錐。如果每個面（包括底面）都是正三角形，這時的三稜錐就是正四面體。如果僅僅底面為正三角形，頂點在底面的投影是正三角形的中心，那么三個側面都是全等的等腰三角形。這樣的三稜錐叫做正三稜錐。同樣地，底面為正多邊形，而且另外一個頂點在底面上的投影是多邊形的中心，這樣的稜錐稱為正稜錐。正稜錐的側面都是全等的等腰三角形，側棱都等長。每個側面三角形以多邊形的邊為底邊的話，高稱為稜錐的斜高。
如果平面外的頂點在底面的投影正好是多邊形的某個頂點（等價於說平面外的頂點和某個頂點連成的直線垂直於地面），這樣的稜錐稱為直稜錐或直角稜錐。連線平面外頂點和其投影頂點的側棱垂直於底面，所以包含這條側棱的兩個側面也垂直於底面。
稜錐的底面多邊形不一定是凸多邊形。如果是星形，則稱為星錐。例如，底面是五角星，則對應的稜錐叫做五星錐。
性質
體積
這個公式早在公元三世紀就得到了證明。現代的證明一般使用積分。假設有稜錐PA1A2...An，其中A1A2...An為底面的n邊形，P為稜錐頂點。設P在底面的投影為Q點，PQ的長度為h。線上段PQ上取一點X，使得線段PX的長度為y：0≤ y ≤ h，那么過點X而且與底面平行的平面截稜錐得到的形狀是一個和底面的n邊形相似的n邊形，記作Ax1Ax2...Axn，它的面積Sy與底面積S的比值等於PX與PQ的比值的平方：
在點X附近截取的“一片”稜錐“切片”，它的體積大約等於：
所以稜錐的體積等於積分：
對於正稜錐，假設它的底面是正n邊形，邊長為a，高是h，那么底面積是：
所以它的體積是：
表面積
稜錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積，就是稜錐的側面積
其中
是第 i 個側面的面積。
稜錐的表面積等於稜錐的側面積Sc加上底面積S。假設頂點的投影Q點到第 i 個側面對應的底邊的距離是di，底邊的長度是ai，那么稜錐的側面積：
對於正n稜錐，頂點到底面的投影是底面正n邊形的中心。所以投影點到每一邊的距離都相等：
因此稜錐的斜高也就是側面三角形的高：
稜錐的側面積：
其中p是底面正n邊形的周長。假設底面正n邊形的邊長是a，高是h，那么它的周長是na，中心到每一邊的距離是
。所以斜高是：
，側面積是：
