疊代函式系統

疊代函式系統（Iterated Function System，IFS）是分形理論的重要分支。它以仿射變換為框架，根據幾何對象的整體與局部具有自相似的結構，將總體形狀以一定的機率按不同的仿射變換疊代下去，直至得到滿意的分形圖形。

基本介紹

• 中文名：疊代函式系統
• 外文名：Iterated Function System
• 簡稱：IFS
• 產生：具有無窮細節、精緻紋理的圖形
• 提出者：Hutchison
• 領域：計算機圖形領域

簡介

疊代函式系統（IFS）屬於一種分形構形系統，是分形幾何學的重要分支，藉助計算機強大的疊代計算能力，將分形理論的精髓—自相似性、層次的多重性和不同層次的規則統一性，套用於計算機圖形領域，可以產生許多具有無窮細節、精緻紋理的圖形。

IFS是以仿射變換為框架，根據幾何對象的整體與局部具有自相似的結構，將總體形狀以一定的機率按不同的仿射變換疊代下去，直至得到滿意的分形圖形。

一個疊代系統由個維空間上的仿射變換組成，每個對應的壓縮比為，滿足，且每個有一個伴隨機率，且。疊代系統IFS又記為：，其中，，。由於主要在空間考察IFS，故可簡記為。

IFS碼是指IFS中的集合

拼貼定理

設是完備度量空間上的IFS，壓縮比為，變換由下式定義：

則是上壓縮比為壓縮映射，即，，且存在惟一的不動點（不變集），滿足，並且對，有。

其中不動點A稱為這個IFS的吸引子。IFS的吸引子一般都是分形，稱為確定性分形。從理論上講，不管多么複雜的事物形態，只要能夠確定其IFS代碼就可以藉助計算機再現事物的複雜形態。由拼貼定理可知，只要選擇適當的仿射變換，就可以使得疊代產生的目標圖像與分形圖任意接近，所以IFS方法在模擬分形圖像方面具有極重要的意義。

繪製分形圖形

疊代函式系統繪製分形圖形有兩種方法：確定性疊代算法和隨機性疊代算法。

確定性疊代算法

確定性疊代算法是通過仿射變換得到的。其基本原理就是找一個初始集，對集上的每一個點，根據給定的仿射變換公式進行數據變換，便可得到新的點集。這樣通過多次疊代，便可繪製所需的圖形，並且每個圖形的局部和整體相似。只要其仿射變換係數相同，即IFS碼相同，當疊代次數足夠大時，最終生成的圖形是相同的。

隨機性疊代算法

隨機性疊代算法用到了機率，從而可以對圖形的細節和顏色進行控制。隨機性疊代算法的基本原理就是利用一個給定的IFS碼（每一個仿射變換對應於一個機率），從任選的一個初始點出發，依據其機率分布，從中選擇相應的進行仿射變換，可得到新的點。然後，再由機率選擇相應的進行變換，進而得到新的點。這樣反覆疊代，便可得到一系列的點。這些點集顯示在螢幕上，便得到一個完整的分形圖。