函式疊代

將一個函式自身複合多次，便是函式的疊代。函式疊代的定義如下：設f:D→D是一個函式，對任意x∈D，記f(x)=x，f(x)=f(x)，...，f(x)=f(f(x))，稱f(x)是函式f(x)在D上的n次疊代。

事實上，如果疊代函式有反函式，則記為f(x)。所以，疊代指數n可取任意整數。

基本介紹

• 中文名：函式疊代
• 外文名：functional iteration
• 適用領域：微分動力系統，計算機
• 所屬學科：數學

常見函式疊代

求函式疊代的方法

1.數學歸納法.

是一種先猜後證的方法，先對f(x)疊代幾次，觀察出其規律，然後猜測出f(x)的表達式，最後用數學歸納法證明。顯而易見，這隻適合一些簡單的函式。例如，我們求f(x)=ax+b的疊代：

......

由此猜測，①.

當n=1時，命題成立。

假設成立，那么

即n=k+1時，命題亦成立，故①成立。

2.遞歸法.

設f(x)是定義在D上並取值於D上的函式，定義數列{a_n}:a₀已知且a₀∈D，a_n=f(a_n-1)，n≥1.

一方面，若求得f(x)=g(x)，則a_n=f(a_n-1)=f(a_n-2)=...=f(a₀)，可得出{a_n}通項公式；

另一方面，若求得{a_n}通項公式a_n=g(a₀)，則取a₀=x，a_n=g(x)，而a_n=f(a_n-1)=...=f(a₀)=f(x)，從而有f(x)=g(x)，即f(x)的表達式。

綜上所述，函式的n次疊代通過構造數列的方法來解，分為三步：

（i）設a₀=x，a_n=f(x)；

（ii）由a_n=f(x)=f(a_n-1)，求出a_n=g(a₀)；

（iii）f(x)=g(a₀)=g(x).

前文所述的f(x)=ax+b等疊代才提端勸也可以用此方法解決。下面再舉兩例：

.

設a₀=x，a_n=f(x)，則有.

（1）若|x|≤2，則令x=2cos θ，取θ=arccos x/2，則

（可由數學歸納法證得），故

（2）若|x|＞2，則令x=t+1/t，取，則由數學歸納法易得，

遞歸法的第二步是關鍵，上述例子中由於重根號難於處理，用了從a₀推到a_n的方法，結合了數學歸納法，也包含先猜後證的意味。下個例子是從a_n推導至a₀的。

求函式的疊代。

易知.設a₀=x，a_n=f(x)，則

可得

3.不動點法.

我們稱危匪記f(x)=x的根為f(x)的不動點。

對於一些簡單的函式，可以利用不動點把函式做變形再求疊代。例如f(x)=ax+b的唯一不動點是x=b/1-a，

則有，

由數學歸納法可知，.

4.相似法.

若存在一個函式φ(x)和其反函式φ(x)，使得，我們就稱f(x)通過φ(x)和g(x)相似，記作f~g，其中φ(x)稱為橋函式。這種函式的相似關係是一種等價關係，滿足自身性，對稱性，傳遞性。

如果f(x)和g(x)相似，即，則

用數學歸納法即可證明

從而把f的疊代問題轉化成了g的疊代問題。

我們還是以f(x)=ax+b為例。我們取φ(x)=x-b/1-a，g(x)=ax，則φ(x)=x+b/1-a，有,而g(x)=ax，故

若f(x)=2x-1，則取g(x)=2x, φ(x)=arccos x，具體可由讀者自行驗證，該疊代結果為切比雪夫多項式。

事實上，在大多數時候，不動點法和相似法會結合運用。不動點的性質可以幫助我們更好找到橋函式：

（1）f(x)的不動點亦是f(x)的不動點。

（2）若有f~g，且x₀是f(x)的不動點，則φ(x₀)是g(x)的不動點。

在騙擔恥運用橋函式求疊代時，我們一般選取簡單的g(x)，如ax,x+a,ax等等。易知g(x)的不動點為0或∞。此時，若f(x)只有唯一不動點a，則考慮取φ(x)=x-a或1/x-a,此時φ(a)=0或∞。若f(x)有兩個不動點，則取φ(x)=x-a/x-b。

數學中的套用

1.幾何中的套用.

將一張地圖按比例縮小之後放入原地圖中，有且僅有一點代表了兩張地圖的同一位置。

如圖，立閥把兩張地圖放入複平面，記A,B對應的複數為0,1，A',B'對應的複數為z₁,z₂。在小地圖中任取一點P，P對應複數z。連線PA,PB，並在小地圖中尋找一點Q，使得△QA'B'∽△PAB。若f(z)=z，那P就是不動點。否則，計算f(z)，...下面證少匙虹慨明，lim_n→∞f(z)一定存在。由三角形相似得，.所以f(z)=(z₂-z₁)z+z₁，f(z)=(z₂-z₁)f(z)+z₁=(z₂-z₁)z+(z₂-z₁)z₁+z₁,.....，由數學歸納法得.又|z₂-z₁|＜1，故，這個複數對應的點即為所求。

兩張地圖在複平面中

而且，不可能有兩個不動點，否則兩張地圖一樣大。

2.數列通項的估值.

有下面的定理：設f,g,h都是定義在I上且可疊代的函式，如果g和h都是單調增函式，且對x∈I，有g(x)≤f(x)≤h(x)，那么必有g(x)≤f(x)≤h(x).該定理由數學您旋乘歸納法立得，是用疊代蒸白頸估計數列通項的基本思想之根據。

4.相似法.

若存在一個函式φ(x)和其反函式φ(x)，使得，我們就稱f(x)通過φ(x)和g(x)相似，記作f~g，其中φ(x)稱為橋函式。這種函式的相似關係是一種等價關係，滿足自身性，對稱性，傳遞性。

如果f(x)和g(x)相似，即，則

用數學歸納法即可證明

從而把f的疊代問題轉化成了g的疊代問題。

我們還是以f(x)=ax+b為例。我們取φ(x)=x-b/1-a，g(x)=ax，則φ(x)=x+b/1-a，有,而g(x)=ax，故

若f(x)=2x-1，則取g(x)=2x, φ(x)=arccos x，具體可由讀者自行驗證，該疊代結果為切比雪夫多項式。

事實上，在大多數時候，不動點法和相似法會結合運用。不動點的性質可以幫助我們更好找到橋函式：

（1）f(x)的不動點亦是f(x)的不動點。

（2）若有f~g，且x₀是f(x)的不動點，則φ(x₀)是g(x)的不動點。

在運用橋函式求疊代時，我們一般選取簡單的g(x)，如ax,x+a,ax等等。易知g(x)的不動點為0或∞。此時，若f(x)只有唯一不動點a，則考慮取φ(x)=x-a或1/x-a,此時φ(a)=0或∞。若f(x)有兩個不動點，則取φ(x)=x-a/x-b。

數學中的套用

1.幾何中的套用.

將一張地圖按比例縮小之後放入原地圖中，有且僅有一點代表了兩張地圖的同一位置。

如圖，把兩張地圖放入複平面，記A,B對應的複數為0,1，A',B'對應的複數為z₁,z₂。在小地圖中任取一點P，P對應複數z。連線PA,PB，並在小地圖中尋找一點Q，使得△QA'B'∽△PAB。若f(z)=z，那P就是不動點。否則，計算f(z)，...下面證明，lim_n→∞f(z)一定存在。由三角形相似得，.所以f(z)=(z₂-z₁)z+z₁，f(z)=(z₂-z₁)f(z)+z₁=(z₂-z₁)z+(z₂-z₁)z₁+z₁,.....，由數學歸納法得.又|z₂-z₁|＜1，故，這個複數對應的點即為所求。

兩張地圖在複平面中

而且，不可能有兩個不動點，否則兩張地圖一樣大。

2.數列通項的估值.

有下面的定理：設f,g,h都是定義在I上且可疊代的函式，如果g和h都是單調增函式，且對x∈I，有g(x)≤f(x)≤h(x)，那么必有g(x)≤f(x)≤h(x).該定理由數學歸納法立得，是用疊代估計數列通項的基本思想之根據。