特徵泛函

特徵泛函(characteristic functional)研究隨機過程分布律的重要分析工具。在經典機率論中，富氏分析方法，或者說得更具體一點，特徵函式方法是非常重要的。在研究抽象空間的機率論時，由於Bochner定理和Levy連續性定理這兩個基本定理不再普遍成立，富氏分析方法的套用，受到了很大的限制，由推廣特徵函式的概念而得到的特徵泛函，仍然保有特徵函式的一系列基本性質，所以有時仍不失為一個有效的工具。

基本介紹

• 中文名：特徵泛函
• 外文名：characteristic functional
• 常見類型：Poisson過程、非時齊Poisson過程
• 特點：是特徵函式的推廣形式
• 地位：研究隨機過程的一種有用工具
• 套用學科：隨機微積分方程

簡介

如同隨機變數的統計特性可用它的特徵函式表征那樣，特徵泛函作為特徵函式的推廣形式，能提供隨機過程分布律的一個完全的統計刻畫。因此，特徵泛函是研究隨機過程（特別是隨機點過程）的一種有用的工具。

隨機過程的特徵泛函相應於隨機變數或隨機向量的特徵函式或聯合特徵函式。特徵泛函既等價於整個過程的分布（有限維分布函式族），又能快速的得到一切矩。廣義隨機過程的特徵泛函的概念是機率分布的特徵函式概念的推廣。

Poisson過程的特徵泛函

定義

對於Poisson過程 及定義在[0，T]上的函式 ，我們將 的特徵函式在1處的值記為 ，即

這裡的f是參變函式，對於給定的一個函式f，就有一個數 與之對應，這種從函式f到 的映射稱為泛函，又因為此泛函是通過Poisson過程的積分生成的，所以稱之為Poisson過程的泛函。

定理

Poisson過程的特徵泛函的表達公式為：

非時齊的Poisson過程的特徵泛函

定義

非時齊的Poisson過程的特徵泛函仍定義為：

定理

非時齊的Poisson過程的特徵泛函的表達公式為：

Gauss過程的特徵泛函

對於期望函式為0，協方差函式為R(s,t)的Gauss過程 ，及任意連續增函式f(t)，定義Gauss過程的特徵泛函為：

它是Gauss隨機變數在 的特徵函式在1處的值。