牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發現並採用的一種用於計算球體體積的方法，類似於現在的微元法。由於其採用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。
基本介紹
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數學典籍
《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂“開立圓術”，“立圓”的意是“球體”，古稱“丸”，而“開立圓術”即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為：“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？”
開立圓術曰：“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”
從中可知，在《九章算術》內由球體體積求球體直徑，是把球體體積先乘16再除以9，然後再把得數開立方根求出約得14300尺，約為4.76千米，換言之
相關研究
即是說，用π=3來計算圓面積時，則較實際面積要少；若按π=4的比率來計算球和外切直圓柱的體積時，則球的體積又較實際多了一些。然而可以互相通補，但按9：16的比率來計算球和外切立方體體積時，則球的體積較實際多一些。因此，劉徽創造了一個獨特的立體幾何圖形，而希望用這個圖形以求出球體體積公式，稱之為“牟合方蓋”。
牟合方蓋
是當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下的描述：
“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”
劉徽理論
其實劉徽是希望構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接於球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是“牟合方蓋”，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用“牟合方蓋”來證實《九章算術》的公式有錯誤。當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為4：π，只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可，可惜，劉徽始終不能解決，他只可以指出解決方法是計算出“外棋”的體積，但由於“外棋”的形狀複雜，所以沒有成功，無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：
“觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。”
而賢能之士要在劉徽後二百多年才出現，便是中國偉大數學家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題。
重要發現
是到三個“外棋”的計算方法。他們先考慮一個由八個邊長為r的正立方體組成的大正立方體，然後用製作“牟合方蓋”的方法把這大正立方體分割，再取其中一個小正立方體部分作分析，分割的結果將跟右圖所示的相同，白色部分稱為“小牟合方蓋”，它的體積為“牟合方蓋”的八分之一，而紫紅、黃和青色的部分便是三個“外棋”。
a2=r2-h2
另外，因為
S=r2-a2
所以
S=r2-(r2-h2)=h2
於所有的h來說，這個結果也是不變的。祖氏父子便由此出發，他們取一個底方每邊之長和高都等於r的方錐，倒過來立著，與三個“外棋”的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為h，不難發現對於任何的h，方錐截面面積也必為h2。換句話說，雖然方錐跟三個“外棋”的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了，所以祖氏云：
“緣冪勢既同，則積不容異。”
所以
外棋體積之和=方錐體積=小立方體體積/3=r3/3
即
小牟合方蓋體積= 2r3/3
牟合方蓋體積=16r3/3
因此
球體體積=(π/4)(16r3/3)=4πr3/3
這條公式也就是正式的球體體積公式。
