焦點弦

焦點弦是指橢圓、雙曲線或者拋物線上經過一個焦點的弦。焦點弦簡述為數學中的弦是指同一條圓錐曲線或同一個圓上兩點連線而成的線段。

焦點弦是由兩個在同一條直線上的 焦半徑構成的。焦點弦長就是這兩個 焦半徑長之和。⑴過橢圓焦點F的直線交橢圓於A、B兩點，記q=a^2/c-c，是焦準距， e是離心率。令|FE|=m,|ED|=n，則m+n=|FD|= 。易知若且唯若 時取|CD|最小值2a。定理1 （配極理論的原則）. 若點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P.

基本介紹

• 中文名：焦點弦
• 外文名：Focus chord

焦點弦概念

定義

焦點弦是指橢圓或者雙曲線或者拋物線上經過一個焦點的弦.

焦點弦簡述

數學中的弦是指同一條圓錐曲線或同一個圓上兩點連線而成的線段。

焦點弦特點

焦點弦是由兩個在同一條直線上的焦半徑構成的。焦半徑是由一個焦點引出的射線與橢圓或雙曲線相交形成的。而由於橢圓或雙曲線上的點與焦點之間的距離(即焦半徑長)可以用橢圓或雙曲線離心率和該點到對應的準線之間的距離來表示(圓錐曲線第二定義)，因此，焦半徑長可以用該點的橫坐標來表示，與縱坐標無關。這是一個很好的性質。焦點弦長就是這兩個焦半徑長之和。此外，由於焦點弦經過焦點，其方程式可以由其斜率唯一確定，很多問題可以轉化為對其斜率範圍或取值的討論。(注意斜率不存在的情況!即垂直於x軸!)

研究對象

圓錐曲線方程。

橢圓焦點弦公式

2ab²/(b²+c²sin²α) (α為焦點弦的傾斜角)

2a±e(x1+x2)(焦點在x軸)

2a±e(y1+y2)(焦點在y軸)

雙曲線焦點弦公式

2ab²/lb²-c²sin²αl

拋物線焦點弦公式

x1+x2+p

拋物線焦點弦的其他結論

①弦長公式

②若直線AB的傾斜角為α，則|AB|=2p/sin²α

③y2=2px或y2=-2px時，x1x2=p²/4,y1y2=-p²

x2=2py或x2=-2py時，y1y2=p²/4,x1x2=-p²

性質套用

研究對象

圓錐曲線方程。圓錐曲線焦點弦的性質及其套用性質。

⑴過橢圓焦點F的直線交橢圓於A、B兩點，記q=a^2/c-c，是焦準距， e是離心率。

⑵過雙曲線(a>0,b>0)焦點F的直線交雙曲線於A、B兩點，記p=c-a^2/c，是焦準距。若A、B兩點在雙曲線的同一支上，此時稱AB為雙曲線的同支焦點弦。若A、B兩點分別位於雙曲線的左支和右支上，此時稱AB為雙曲線的異支焦點弦。（拋物線的類似性質，本文從略）

證明舉例

（只證性質⑴,性質⑵的證明從略）由對稱性，不妨取F為右焦點。設右準線l與x軸交於點D，過A作AG⊥l於G，過B作BH⊥l於點H，則AG∥FD∥BH；且由橢圓的第二定義知，|AG|= ，|BH|= 。令|FE|=m,|ED|=n，則m+n=|FD|= 。故由 ， = 可得：。∴ 。因此，m+n= ? 。∴ ，從而 就是焦準距。證畢。

[說明]①在上述證明過程中出現的“m = n”， “即|FE|=|ED|”，亦即 E為線段FD的中點（如圖1） 這是橢圓焦點弦的另一條性質。雙曲線與拋物線也有這一性質。

②如圖1，若設∠AFD= ，並分別過A、F作FD和BH的垂線，則可證： 從而得焦點弦長公式：|AB|= = 就是焦準距 。在雙曲線與拋物線中也有這樣的公式，如：在雙曲線 (a>0,b>0)中，若焦點弦AB的傾斜角為 ，則 ， ；從而焦點弦長 為焦準距， 是離心率， 且 。③如圖1，若分別連線AD和BD，利用說明①的結論，則易證：∠ADF=∠BDF，即x軸平分∠ADB。在雙曲線與拋物線中也有這樣的結論。

例1 （07年全國(Ⅰ)高考（理）題)已知橢圓 的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓於B、D兩點，過F2的直線交橢圓於A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P。

(Ⅰ)設P點的坐標為（x0，y0），證明： ；

(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積的最小值。

分析：(Ⅰ)略。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在橢圓的內部，因此，（畫草圖）四邊形ABCD的面積S= 。

設直線AC的傾斜角為 ，則由本文性質的說明②可得：|AC|= ；而AC⊥BD，∴|BD|= 。從而S= 。

由均值不等式可得： ≤ 。

∴S≥ ，若且唯若 =45°或135°時取等號——問題獲解。

例子

求雙曲線

同支焦點弦的弦長的最小值；

⑵ 求雙曲線 異支焦點弦的弦長的最小值。

解 ⑴由對稱性（如圖2），不妨設同支焦點弦

AB經過右焦點F(c, 0) ，且設 = n，

則由本文性質⑴知： ，即 。

而mn≤ , ∴ ≥ 。

因此 ≥ ，即 ≥ 。

故|AB|=m+n≥ ，其中若且唯若m=n時取等號；即焦點弦AB垂直於實軸時，同支焦點弦的弦長取到最小值。

⑵設異支焦點弦CD的傾斜角為 ，則由本文性質的說明②可得： 。易知若且唯若 時取|CD|最小值2a。

（註：運用“數形結合”思想，也易從圖2中推出|CD|≥2a）。

如果拋物線兩條切線的交點在準線上，則切點弦必為焦點弦。

本文即在於用二次曲線的極線理論對這一性質作進一步的推廣，得出一些更一般的結論（即本文末的定理5和定理6）。

什麼是二次曲線的極線

設S：Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0為常態二次曲線，P(x0,y0)為不在S上的點(有心二次曲線的中心也除外，下同)，我們把直線P：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做點P關於S的極線，點P則叫做直線P關於S的極點。

在這樣的定義下，有心二次曲線的中心沒有極線，並且

定理1 （配極理論的原則）. 若點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P.

定理2 通過一點P而且與一個常態二次曲線相切的直線它的切點在點P的極線上。

定理3 橢圓、雙曲線、拋物線焦點的極線是相應的準線。

定理4 如果橢圓、雙曲線、拋物線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點。

這是因為，焦點的極線是相應準線（定理3），又交點在準線上，準線上的點的極線就必過焦點（定理1），而定理2又告訴我們這條過焦點的極線恰好經過兩切點。

由於在射影平面內，圓的焦點是圓心，準線是無窮遠直線，故定理4又可推廣為：

定理5 如果常態二次曲線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點。

（特別：如果圓的兩條切線平行，則切點弦是圓的直徑）。

不言而喻，更一般還有

定理6 (1)點E是常態二次曲線內部一點，但不是有心二次曲線的中心，如果該曲線的兩條切線的交點在點E的極線上，則過切點的直線必過點E.

(2)如果有心二次曲線的兩條切線平行，則過切點的直線必過中心點。