弦長公式

弦長公式，在這裡指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。

PS：圓錐曲線， 是數學、幾何學中通過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的一些曲線，如：橢圓，雙曲線，拋物線等。

基本介紹

• 中文名：弦長公式
• 類型：概念,公式
• 類別：定理
• 套用學科：數學

公式一

引入

直線與圓錐曲線的位置關係是平面解析幾何的重要內容之一，也是高考的熱點，反覆考查。考查的主要內容包括：直線與圓錐曲線公共點的個數問題；弦的相關問題（弦長問題、中點弦問題、垂直問題、定比分點問題等）；對稱問題；最值問題、軌跡問題和圓錐曲線的標準方程問題等。

弦長公式

證明

弦長==

其中為直線斜率，（,），（,）為直線與曲線的兩交點

證明方法如下：

假設直線為：

圓的方程為：

假設相交弦為AB，點A為（,）點B為（,）

則有

把，分別代入，

則有：

證明的方法也是一樣的

證明方法二

這是兩點間距離公式

因為直線

所以

將其代入

得到

弦長

公式二

拋物線

=2px，過焦點直線交拋物線於A(x1,y1）和B(x2,y2）兩點，則AB弦長：d=p+x1+x2

拋物線

=-2px，過焦點直線交拋物線於A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p-﹙x1+x2﹚

=2py，過焦點直線交拋物線於A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p+y1+y2

=-2py，過焦點直線交拋物線於A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點，則AB弦長：d=p-﹙y1+y2﹚

公式三

d ====..........................................................1式

關於直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關於x（或關於y）的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式求出弦長，這種整體代換，設而不求的思想方法對於求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對於過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷。

d =......................................................................................2式

在知道圓和直線方程求弦長時，可利用方法二，將直線方程代入圓方程，消去一未知數，得到一個一元二次方程，其中△為一元二次方程中的 b^2-4ac ，a為二次項係數。

補遺：公式2符合橢圓等圓錐曲線 不光是圓。2式可以由1推出，很簡單，由韋達定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分即可。在知道圓和直線方程求弦長時也可以用勾股定理（點到直線距離、半徑、半弦）